XXVII OM - III - Zadanie 6

Funkcja rosnąca $ f $ określona na zbiorze liczb naturalnych spełnia następujący warunek

\[<br />
f(k\cdot l)=f(k)+f(l)<br />
\]

dla dowolnej pary liczb naturalnych $ (k, l) $.
Udowodnić, że istnieje taka liczba rzeczywista $ p > 1 $, że

\[<br />
f(n) = \log_p n \quad \text{ dla }   $n = 1, 2, 3, \ldots$.<br />
\]

Rozwiązanie

Ze wzoru $ f(k \cdot l)=f(k) + f(l) $ przez indukcję łatwo wynika, że

\[<br />
(1) \qquad f(m^s) = sf(m)<br />
\]

dla dowolnych liczb naturalnych $ m $ i $ s $. Stąd w szczególności otrzymujemy $ f(1) =f(1^2) = 2f(1) $, czyli $ f(1)=0 $. Ponieważ funkcja $ f $ jest rosnąca, więc wynika stąd, że $ f(2) >f(1) = 0 $.

Określamy liczbę $ p $ wzorem $ \log_p 2=f(2) $, tzn. $ p^{f(2)} = 2 $, czyli
$ p = \sqrt[f(2)]{2} $. Wobec tego $ p > 1 $.

Dla dowolnej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ istnieje taka liczba naturalna $ r $, że

\[<br />
(2) \qquad 2^r <\leq n < 2^{r+1}.<br />
\]

Logarytmując (2) przy podstawie $ p $ otrzymujemy

\[<br />
r \log_p 2 \leq \log_p n < (r + 1) \log_p 2,<br />
\]

czyli

\[<br />
(3) \qquad rf(2) \leq \log_p n \leq rf(2) + f(2).<br />
\]

Ponieważ funkcja $ f $ jest rosnąca, więc z (2) wynika, że

\[<br />
f(2^r) \leq f(n) < f(2^{r+1}).<br />
\]

Stąd na mocy (1) otrzymujemy

\[<br />
(4) \qquad rf(2) \leq f(n) < (r + 1)f(2) = rf(2) + f(2).<br />
\]

Z (3) i (4) wynika, że liczby $ \log_p n $ i $ f(n) $ należą do tego samego przedziału długości $ f(2) $. Wobec tego

\[<br />
(5) \qquad -f(2) < f(n) - \log_p n < f(2),<br />
\]

dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 2 $. Podstawiając w (5) w szczególności na miejsce $ n $ liczbę $ n^k $, gdzie $ n \geq 2 $ i $ k $ jest dowolną liczbą naturalną otrzymujemy na mocy (1)

\[<br />
-f(2) < k f(n) - k \log_p n < f(2),<br />
\]

czyli

\[<br />
(6) \qquad - \frac{f(2)}{k} < f(n)- \log_p n < \frac{f(2)}{k}<br />
\]

dla $ k = 1, 2, \ldots $. Przechodząc w (6) do granicy, gdy $ k \to \infty $, otrzymujemy, że $ f(k) = \log_p n $ dla $ n \geq 2 $. Dla $ n = 1 $ również mamy $ f(1) = 0 = \log_p 1 $.

Uwaga. W powyższym rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, że $ n $ jest liczbą naturalną. Rozumując podobnie można więc udowodnić, że każda funkcja rosnąca $ f $ spełniająca warunek $ f(k \cdot l) = f(k) + f(l) $ określona w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich ma postać

\[<br />
f(x) = \log_p x,\ \textrm{gdzie}\ p > 1.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź