XXVI - I - Zadanie 2

W czworokącie płaskim wypukłym $ ABCD $ wybrano na bokach przeciwległych $ \overline{AB} $ i $ \overline{GD} $ punkty $ P $ i $ B $, zaś na bokach przeciwległych $ \overline{AD} $ i $ \overline{BC} $ punkty $ Q $ i $ S $ w ten sposób, że $ \frac{AP}{PB} = \frac{DR}{RC} = a $, $ \frac{AQ}{QD} = \frac{BS}{SC} = b $. Dowieść, że jeżeli $ O $ jest punktem przecięcia odcinków $ \overline{PR} $ i $ \overline{QS} $, to $ \frac{PO}{OR} = b $ oraz $ \frac{QO}{OS} = a $.

Rozwiązanie

Umieszczamy w punktach $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ masy odpowiednio $ 1 $, $ a $, $ ab $, $ b $ i obliczamy środek ciężkości $ T $ układu $ U $ złożonego z tych czterech punktów.

Z warunków zadania wynika, że środkami ciężkości układów $ \{A, B\} $ i $ \{C, D\} $ są odpowiednio punkty $ P $ i $ R $. Środek ciężkości $ T $ układu $ U $ jest więc środkiem ciężkości układu punktów $ P $ i $ R $ opatrzonych masami $ 1+a $ i $ b(1+a) $ odpowiednio. Zatem $ T $ jest takim punktem odcinka $ \overline{PR} $, że $ \displaystyle \frac{PT}{TR}= b $.

Analogicznie stwierdzamy, że środkami ciężkości układów $ \{A, D\} $
i $ \{B, C\} $ są odpowiednio punkty $ Q $ i $ S $. Zatem środek ciężkości $ T $ układu $ U $ jest środkiem ciężkości układu punktów $ Q $ i $ S $ opatrzonych masami $ 1 + b $ i $ a(1+b) $ odpowiednio. Wobec tego $ T $ jest takim punktem odcinka $ \overline{QS} $, że $ \displaystyle \frac{QT}{TS}=a $.

Wynika stąd, że punkt $ O $ jest równy $ T $ i spełnia warunki zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź