XXVI - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdego naturalnego $ n $

\[<br />
\sum_{j=0}^{n-1} \left| \cos \frac{j\pi}{n}\right| \geq \frac{n}{2}.<br />
\]

Rozwiązanie

Składniki sumy odpowiadające $ j = 1 $ i $ j = n-1 $ są równe. Analogicznie równe są składniki odpowiadające $ j = 2 $ i $ j = n-2 $ itd. Ponadto, gdy $ n $ jest liczbą parzystą, to składnik odpowiadający $ \displaystyle j - \frac{n}{2} $ jest równy zeru. Zatem dana suma jest równa

\[<br />
(1) \qquad S= 1 + 2 \sum_{j=1}^w \cos \frac{j}{n} \pi,<br />
\]

gdzie $ \displaystyle w= \left[ \frac{n}{2} \right] $. Wykres funkcji $ \cos x $ w przedziale $ \displaystyle \langle 0; \frac{\pi}{2} \rangle $ jest zwrócony wypukłością do góry. Wykres ten leży więc w tym przedziale powyżej wykresu prostej $ \displaystyle y = 1 - \frac{2}{\pi}x $ łączącej punkty $ (0, 1) $ i $ \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}, 0 \right) $. Stąd

\[<br />
(2) \qquad \cos x \geq 1 - \frac{2}{\pi} x \ \textrm{dla} \ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}.<br />
\]

Z (1) i (2) wynika, że

\[<br />
S \geq 1 + 2 \sum_{j=1}^w \left( 1 - \frac{2}{\pi} \cdot \frac{j}{n} \pi \right) = 1+2w - \frac{4}{n} \sum_{j=1}^w j = 2w + 1 - \frac{4}{n} \cdot \frac{w(w+1)}{2}.<br />
\]

Jeżeli $ n = 2w $, to ostatnie wyrażenie jest równe $ \displaystyle \frac{n}{2} $. Jeżeli zaś $ n = 2w+1 $, czyli $ \displaystyle w =\frac{n-1}{2} $ to jest ono równe $ \displaystyle \frac{n}{2} + \frac{1}{2n} $. W każdym więc przypadku badana suma jest nie mniejsza od $ \displaystyle \frac{n}{2} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź