XXVI - I - Zadanie 4

Dane są parami rozłączne kule $ K_1, K_2, K_3 $ o promieniach parami różnych. Niech $ A_{ij} $ będzie wierzchołkiem, stożka opisanego na kulach $ K_i $ i $ K_j $. Dowieść, że punkty $ A_{12} $, $ A_{23} $, $ A_{31} $ są współliniowe.

Rozwiązanie

Jeżeli $ A $ jest wierzchołkiem stożka opisanego na kulach $ K $ i $ L $ o promieniach różnej długości, to istnieje dokładnie jedna taka jednokładność $ j $, że $ j(K) = L $. Jej wierzchołkiem jest punkt $ A $, a współczynnikiem - stosunek długości promieni kul $ L $ i $ K $.

Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że długości promieni kul $ K_1 $, $ K_2 $, $ K_3 $ tworzą ciąg rosnący. Niech $ s $ i $ t $ będą takimi jednokładnościami, że $ s(K_1) = K_2 $ i $ t(K_2) = K_3 $. Wtedy $ ts(K_1) = K_3 $. Dla rozwiązania zadania wystarczy więc udowodnić, że złożenie $ ts $ jednokładności $ t $ i $ s $ o współczynnikach większych od $ 1 $ jest jednokładnością i środki jednokładności $ t $, $ s $ i $ ts $ są współliniowe.

Obierzmy tak układ współrzędnych, by środkiem jednokładności $ s $ był punkt $ (0, 0, 0) $, a środkiem jednokładności $ t $ - punkt $ (a, 0, 0) $.

Wtedy $ s(x, y, z) = (kx, ky, kz) $, $ t(x, y, z) = (mx - am + a, my, mz) $, gdzie $ k, m > 1 $. Obliczamy, że $ ts(x,y, z) = t(kx, ky, kz) = (mkx- am+a, kmy, kmz) $.

Zatem $ ts $ jest jednokładnością o środku $ \displaystyle\left(\frac{a(m-1)}{mk-1}, 0, 0\right) $. Środki jednokładności $ s $, $ t $ i $ ts $ są więc współliniowe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź