XXVI - I - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $ m $, dla których wielomian $ x^3-mx^2+mx-(m^2+1) $ ma pierwiastek całkowity.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby całkowite $ x $ i $ m $ spełniają równanie $ x^3 - mx^2+mx-(m^2+1) = 0 $, czyli $ (x^2+m)(x-m) = 1 $. Wtedy $ x^2+m = 1 $ i $ x- m = 1 $ lub $ x^2+m = -1 $ i $ x-m = -1 $. Dodając w każdym z tych układów równania stronami otrzymujemy $ x^2+x = 2 $ lub $ x^2+x = - 2 $. Pierwiastkami pierwszego równania są liczby $ x = 1 $ i $ x = -2 $. Odpowiadają im liczby $ m = 0 $ i $ m = - 3 $. Drugie równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź