XXVI - I - Zadanie 6

Niech $ T_n $ będzie ciągiem liczb całkowitych zdefiniowanym następująco :

\[<br />
T_n=n-1 \quad \text{ dla }n = 1, 2, 3, 4,<br />
\]
\[<br />
(1)\qquad T_{2k-1}= T_{2k-2} + 2^{k-2},<br />
\]
\[<br />
(2)\qquad T_{2k} = T_{2k-5} + 2^k, \text{ dla } k\geq 3<br />
\]

Dowieść, że

\[<br />
T_{2k-1}=\left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{k-1}\right] \text{ dla } A = 1,2,\ldots<br />
\]

i znaleźć wzór dla $ T_{2k} $.

Rozwiązanie

Wypisując pięć początkowych wyrazów ciągu $ T_n $ sprawdzamy bezpośrednio, że wzór (3) zachodzi dla $ k = 1, 2, 3 $. Załóżmy z kolei, że zachodzi on dla każdej liczby naturalnej $ k $ nie większej od $ n $, gdzie $ n $ jest pewną liczbą naturalną $ \geq 3 $. Udowodnimy wzór (3) dla liczby $ n+1 $.

Z (1) i (2) wynika, że

\[<br />
T_{2n+1} = T_{2n} + 2^{n-1} = T_{2n-5} + 2^n + 2^{n-1}.<br />
\]

Z założenia indukcyjnego mamy

\[<br />
T_{2n-5} = \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} \right] -1.<br />
\]

Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
 T_{2n+1} &= \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} \right] + 2^n + 2^{n-1} - 1 =<br />
\left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} + 2^n + 2^{n-1} \right] -1=\\<br />
& = \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} \left( 1 + \frac{7}{12} \cdot 8 + \frac{7}{12} \cdot 4 \right) \right] -1 = \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n} \right] -1.<br />
\end{split}<br />
\]

Na mocy zasady indukcji wzór (3) zachodzi więc dla każdej liczby naturalnej $ k $.

Z (2) i (3) wynika, że

\[<br />
T_{2k} = T_{2k-5} + 2^k = \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} \right] + 2^k -1<br />
\]

dla $ k \geq 3 $. Sprawdzamy bezpośrednio, że również dla $ k = 1 $ i $ k = 2 $ zachodzi $ \displaystyle T_{2k} = \left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{n-3} \right] -1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź