XXVI - I - Zadanie 9

Obliczyć granicę

\[<br />
\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2^n}\log \binom{2^n}{n}<br />
\]

Rozwiązanie

Dla dowolnych liczb naturalnych $ k $ i $ n $, gdzie $ n \leq k $, mamy

\[<br />
\binom{k}{n} = \frac{k(k-1) \ldots (k-n+1)}{n!} \leq \frac{k^n}{n!} \leq k^n.<br />
\]

W szczególności $ \displaystyle \binom{2^n}{n} \leq (2^n)^n = 2^{n^2} $. Na mocy wzoru dwumianowego mamy

\[<br />
2^{n+2} = (1+1)^{n+2} =<br />
\sum_{j=0}^{n+2} \binom{n+2}{j} \geq \binom{n+2}{3} =<br />
\frac{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n}{6} > \frac{n^3}{6}<br />
\]

i stąd $ \displaystyle 2^n > \frac{n^2}{24} $. Wobec tego

\[<br />
0 \leq \frac{1}{2^n} \log \binom{2^n}{n} < \frac{24}{n^3} \log 2^{n^2} =<br />
\frac{24 n^2 \log 2}{n^3} = \frac{1}{n} 24 \log 2.<br />
\]

Ponieważ $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}= 0 $, więc wynika stąd, że $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \log \binom{2^n}{n}= 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź