XXVI - I - Zadanie 10

Niech $ \alpha $ będzie liczbą niewymierną, $ A_1 $ - punktem okręgu $ S $ o środku $ O $. Rozważmy ciąg nieskończony $ A_n $ punktów okręgu $ S $, w którym punkt $ A_{k+1} $ jest obrazem punktu $ A_k $ w obrocie dookoła punktu $ O $ o kąt $ \alpha m $. Dowieść, że każdy łuk okręgu $ S $ zawiera pewne punkty ciągu $ A_n $.

Rozwiązanie

Gdyby dla pewnych liczb naturalnych $ k $ i $ n $, gdzie $ k \ne n $, było $ A_k = A_n $, to obroty o kąty $ (k- 1) \alpha \pi $ i $ (n-1)\alpha \pi $ byłyby równe. Wtedy liczby $ (k- 1) \alpha \pi $ i $ (n- 1) \alpha \pi $ różniłyby się o całkowitą wielokrotność liczby $ 2\pi $, tzn. $ (n- k) \alpha \pi = 2m\pi $, gdzie $ m $ jest pewną liczbą całkowitą. Stąd $ \displaystyle \alpha = \frac{2m}{n-k} $, co przeczy niewymierności liczby $ \alpha $. Wobec tego wszystkie wyrazy ciągu $ (A_n) $ są różne.

Niech $ L $ będzie łukiem długości $ d $ zawartym w okręgu $ S $ o promieniu długości $ r $. Niech $ t $ będzie liczbą naturalną większą od $ \displaystyle \frac{2\pi r}{d} $. Dzieląc okrąg $ S $ na $ t $ równych łuków o długości $ \displaystyle \frac{2\pi r}{t} $ stwierdzamy, że istnieje wśród nich łuk zawierający co najmniej dwa z punktów $ A_1, A_2, \ldots, A_{t+1} $. Niech będą to punkty $ A_i $ $ A_j $, gdzie $ i < j $. Wtedy łuk $ \widehat{A_iA_j} $ ma długość nie większą niż $ \displaystyle \frac{2\pi r}{t} $. Ponieważ $ \displaystyle t > \frac{2\pi r}{t} $, więc $ \displaystyle \frac{2\pi r}{t} < d $ i wobec tego długość łuku $ \widehat{A_iA_j} $ jest mniejsza od $ d $. Wynika stąd, że obrót o kąt $ (j-i) \alpha \pi $ przeprowadza punkt $ A_i $ na $ A_j $ i ogólnie - punkt $ A_{i+n} $ na $ A_{j+n} $ dla $ n = 0, 1, 2, \ldots  $. Wobec tego kolejne wyrazy podciągu $ A_1, A_{1 + (j-i)}, A_{1+2(j-i)}, \ldots $ wyznaczają łuki o długości $ \displaystyle \leq \frac{2\pi r}{t} $ mniejszej od $ d $. Pewien wyraz tego podciągu należy więc do łuku $ L $ o długości $ d $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź