XXVI - I - Zadanie 11

Statek porusza się ze stałą prędkością po prostej o kierunku wschód-zachód. Co $ T $ minut losuje się kierunek poruszania: z prawdopodobieństwem $ p $ statek porusza się w ciągu następnych $ T $ minut w kierunku wschodnim, z prawdopodobieństwem $ q= 1-p $ porusza się w kierunku zachodnim. W punkcie poza prostą znajduje się łódź podwodna, której zadaniem jest storpedowanie statku. Czas drogi torpedy od punktu wystrzelenia do dowolnego punktu toru statku wynosi $ 2T $. Kapitan łodzi podwodnej zna wartość $ p $ i celuje tak, aby prawdopodobieństwo trafienia statku było największe. Jak należy dobrać $ p $, aby prawdopodobieństwo storpedowania statku było najmniejsze ?

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że łódź podwodna wystrzeli torpedę, w chwili gdy na statku odbywa się losowanie. W przypadku wystrzelenia torpedy w innej chwili rozumowanie przebiega podobnie. Możemy też przyjąć, bez zmniejszenia ogólności, że $ p \geq q $, tzn. $ \displaystyle p \geq \frac{1}{2} $. Po $ T $ minutach od chwili wystrzelenia torpedy odbywa się następne losowanie. Wyniki tych dwóch losowań mogą być następujące: wschód-wschód, wschód-zachód, zachód-wschód, zachód-zachód z prawdopodobieństwami odpowiednio $ p^2 $, $ pq $, $ qp $, $ q^2 $. W pierwszym przypadku po upływie $ 2T $ minut od chwili wystrzelenia torpedy statek będzie się znajdował w punkcie $ A $ na wschód od punktu początkowego $ O $, w drugim i w trzecim przypadku - w punkcie $ O $, a w ostatnim przypadku - w punkcie $ B $ na zachód od $ O $. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że statek znajdzie się w tym czasie w punkcie $ A $, $ O $, $ B $ jest wiec równe odpowiednio $ p^2 $, $ 2pq $, $ q^2 $.

Mamy zbadać, która z tych liczb jest największa. Ponieważ $ p \geq q $, więc $ p^2 \geq q^2 $. Nierówność $ p^2 > 2pq $ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ p > 2q $. Zatem, jeżeli $ p > 2q $, tzn. $ \displaystyle p > \frac{2}{3} $, to z tych trzech liczb największą jest $ p^2 $ i wobec tego torpeda powinna być wystrzelona
w kierunku punktu $ A $. Jeżeli zaś $ 2q > p \geq q $, tzn. $ \frac{2}{3} > p \geq \frac{1}{2} $, to liczba $ 2pq $ jest największa i torpeda powinna być wystrzelona w kierunku punktu $ O $. Dla $ \displaystyle p = \frac{2}{3} $ mamy $ p^2 = 2pq > q^2 $ i wobec tego można strzelać w kierunku punktu $ A $ lub $ O $ z jednakowym prawdopodobieństwem trafienia. Prawdopodobieństwo trafienia $ f(p) $ równe jest więc

\[<br />
f(p) = \left\{\<br />
\begin{array}{ccc}<br />
p^2 & \textrm{dla} &    p \geq \frac{2}{3}\\<br />
2p(1-p) & \textrm{dla} & \frac{1}{2} \leq p < \frac{2}{3}.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Funkcja $ f(p) $ jest rosnąca w przedziale $ \displaystyle \langle \frac{2}{3};\ 1 \rangle $ malejąca w przedziale $ \displaystyle \langle \frac{1}{2};\ \frac{2}{3} \rangle $. Zatem najmniejsze prawdopodobieństwo trafienia jest przy $ \displaystyle p = \frac{2}{3} $. Wynosi ono $ \displaystyle \frac{4}{9} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź