XXVI - I - Zadanie 12

W przestrzeni dany jest sześcian o boku $ a $, i kule $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ o dowolnych promieniach takie, że każdy punkt sześcianu należy do którejś z kul. Udowodnić, że spośród tych kul można wybrać parami rozłączne kule takie, że suma ich objętości jest nie mniejsza od $ \left(\frac{a}{5}\right)^3 $.

Rozwiązanie

Przez indukcję ze względu na $ N $ udowodnimy

Twierdzenie. Jeżeli dany jest w przestrzeni zbiór $ F $ o objętości $ V $ zawarty w sumie $ N $ kul otwartych $ B_1, B_2, \ldots, B_N $, to istnieje taki
podzbiór $ B_{i_1}, B_{i_2}, \ldots, B_{i_r} $ tego zbioru kul, że kule należące do tego podzbioru są parami rozłączne oraz suma objętości kul $ B_{i_1}, B_{i_2}, \ldots, B_{i_r} $ jest większa od $ \displaystyle \frac{1}{27} V $.

Dowód. Jeżeli $ N = 1 $, to twierdzenie jest oczywiste. Kula $ B_1 $ zawiera figurę $ F $ o objętości $ V $. Wtedy objętość kuli $ B_1 $ jest nie mniejsza od $ V $, a więc jest większa od $ \displaystyle \frac{1}{27} V $.

Załóżmy z kolei, że powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej $ N $. Udowodnimy je dla liczby $ N+1 $. Niech więc zbiór $ F $ o objętości $ V $ będzie zawarty w sumie kul $ B_1, B_2, \ldots, B_N, B_{N+1} $. Możemy przyjąć, że objętość $ V_{N+1} $ kuli $ B_{N+1} $ jest nie mniejsza od objętości każdej z pozostałych kul. Niech $ B' $ będzie kulą o tym samym środku, co kula $ B_{N+1} $ i o promieniu długości $ 3r $, gdzie $ r $ jest długością promienia kuli $ B_{N+1} $. Wtedy objętość $ V' $ kuli $ B' $ jest równa $ 27 V_{N+1} $. Niech $ V_0 $ będzie objętością zbioru $ F_0 = F-B' $. Ponieważ zbiory $ F_0 $ i $ B' $ są rozłączne i $ F $ jest zawarty w sumie zbiorów $ F_0 $ i $ B' $, więc $ V \leq V_0 + 27 V_{N+1} $.

Każdy punkt zbioru $ F_0 $ należy do co najmniej jednej z kul $ B_1, B_2, \ldots, B_N $. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że dla pewnego $ k, 0 \leq k \leq N $ każda z kul $ B_1, B_2, \ldots, B_k $ ma punkt wspólny ze zbiorem $ F_0 $, a każda z kul $ B_{k+1}, B_{k+2}, \ldots, B_N $ jest rozłączna z $ F_0 $. Wtedy zbiór $ F_0 $ jest zawarty w sumie kul $ B_1, B_2, \ldots, B_k $.

Odległość środka kuli $ B_{N+1} $ od dowolnego punktu zbioru $ F_0 $ jest nie mniejsza od $ 3r $. Zatem odległość dowolnego punktu kuli $ B_{N+1} $ od dowolnego punktu zbioru $ F_0 $ jest nie mniejsza od $ 2r $. Średnica każdej z kul $ B_1, B_2, \ldots, B_k $ jest nie większa od średnicy kuli $ B_{N+1} $, tzn. od $ 2r $. Wobec tego każda z kul $ B_1, B_2, \ldots, B_k $ jest rozłączna z kulą $ B_{N+1} $. Liczba kul $ B_1, B_2, \ldots, B_k $ jest nie większa od $ N $. Na mocy założenia indukcyjnego istnieje więc taki podzbiór $ B_{i_1}, B_{i_2}, \ldots, B_{i_r} $ zbioru kul $ B_1, B_2, \ldots, B_k $, że kule należące do tego podzbioru są parami rozłączne, a suma ich objętości jest większa od $ \displaystyle \frac{1}{27} V_0 $, a więc - większa od $ \displaystyle \frac{1}{27} V - V_{N+1} $. Ponieważ kula $ B_{N+1} $ jest rozłączna z każdą z kul $ B_1, B_2, \ldots, B_k $, więc tym bardziej kule $ B_{i_1}, B_{i_2}, \ldots, B_{i_r} $ są parami rozłączne. Suma ich objętości jest większa od $ \displaystyle \left( \frac{1}{27} V - V_{N+1} \right) + V_{N+1} = \frac{1}{27} V $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź