XXVI - II - Zadanie 1

Dany jest wielomian $ W(x) = x^4 + ax^3 + bx + cx + d $. Dowieść, że jeżeli równanie $ W(x) = 0 $ ma cztery pierwiastki rzeczywiste, to na to, żeby istniało $ m $ takie, że $ W(x+m) = x^4+px^2+q $, potrzeba i wystarcza, aby suma pewnych dwóch pierwiastków równania $ W(x) = 0 $ równała się sumie pozostałych.

Rozwiązanie

Jeżeli pierwiastkami wielomianu $ W (x) $ są liczby $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ oraz

\[<br />
(1) \qquad x_1+x_2= x_3 + x_4,<br />
\]

to przyjmując $ \displaystyle m = \frac{1}{2} (x_1 + x_2) $ otrzymujemy, że pierwiastkami wielomianu $ W(x+m) $ są liczby $ y_i = x_i-m $ dla $ i = 1, 2, 3, 4 $, czyli - liczby

\[<br />
\begin{array}{cc}<br />
y_1 = x_1-m = \frac{1}{2} (x_1 - x_2), &<br />
y_2 = x_2-m = \frac{1}{2} (x_2 - x_1), \\<br />
y_3 = x_3-m = \frac{1}{2} (x_3 - x_4), &<br />
y_4 = x_4-m = \frac{1}{2} (x_4 - x_3).<br />
\end{array}<br />
\]

Zatem

\[<br />
(2) \qquad y_2 = -y_1 \ \textrm{i} \ y_4 = -y_3.<br />
\]

Wynika stąd, że

\[<br />
W(x+m) = (x-y_1)(x-y_2)(x-y_3)(x-y_4) = (x^2-y^2_1)(x^2-y^2_3) =<br />
= x^4 - (y^2_1 + y^2_3) + y_1^2 y^2_3.<br />
\]

Wykazaliśmy więc, że jeżeli pierwiastki wielomianu $ W $ spełniają zależność (1), to dla $ \displaystyle m = \frac{1}{2}(x_1 + x_2) $ zachodzi $ W(x+m) =<br />
x^4 + px^2 + q $, gdzie $ \displaystyle p = - \frac{1}{4} (x_1-x_2)^2- \frac{1}{4} (x_3-x_4)^2 $, $ \displaystyle q= \left[ \frac{1}{4}(x_1-x_2)(x_3- x_4) \right]^2 $.

Udowodnimy z kolei implikację odwrotną. Jeżeli liczba rzeczywista jest pierwiastkiem wielomianu $ x^4 + px^2 + q $, to jego pierwiastkiem jest też oczywiście liczba przeciwna. Zatem, jeżeli dla pewnej liczby rzeczywistej $ m $ wielomian $ W (x+m) $ ma postać $ x^4 + px^2 + q $, to jego pierwiastki $ y_1, y_2, y_3, y_4 $ spełniają równości (2). Pierwiastkami wielomianu $ W(x) $ są liczby $ x_i = y_i + m $, gdzie $ i = 1, 2, 3, 4 $. Z (2) otrzymujemy więc że $ x_1 + x_2 =<br />
y_1 + m + (-y_1) + m= 2m $ i podobnie $ x_3 + x_4 = y_3 + m + (-y_3)+m = 2m $. Wobec tego zachodzi równość (1).

Uwaga. Nietrudno zauważyć, że istnieje tylko jedna liczba $ m $ spełniająca warunki zadania. Jeżeli bowiem $ f(x) = x^4 + px^2 + q $, to dla $ k \ne 0 $ wielomian $ f(x+k) $ ma współczynnik przy $ x^3 $ równy $ 4k $, a więc różny od zera.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź