XXVI - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ na, bokach przyległych $ \overline{AB} $ i $ \overline{BC} $ obrano odpowiednie punkty $ M $ i $ N $ oraz oznaczono przez 0 punkt przecięcia odcinków $ AN $ i $ GM $. Dowieść, że jeżeli w czworokąty $ AOCD $ oraz $ BMON $ można wpisać koła, to w czworokąt $ ABCD $ też można wpisać koło.

Rozwiązanie

Niech $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ będą punktami styczności koła wpisanego w czworokąt $ AOCD $ z bokami $ \overline{AO} $, $ \overline{OC} $, $ \overline{CD} $, $ \overline{DA} $ odpowiednio i podobnie $ E $, $ F $, $ G $, $ H $ - punktami styczności koła wpisanego w czworokąt $ BMON $ z bokami $ \overline{MB} $, $ \overline{BN} $, $ \overline{NO} $, $ \overline{OM} $ odpowiednio (rys. 9). Korzystając z twierdzenia: odcinki stycznych do koła poprowadzonych z punktu poza kołem mają równe długości, otrzymujemy kolejno:

\[<br />
AS = AP = AG-OG-OP = AE-OH-OQ = AE-CH+CQ = AE-CF+CR,<br />
\]

czyli $ AS + CF = AE + CR $. Analogicznie dowodzimy, że $ DS+BF = DR+BE $. Dodając dwie ostatnie równości stronami otrzymujemy $ AD+BC = AB+CD $. Wynika stąd, jak wiadomo, że w czworokąt $ ABCD $ można wpisać koło.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź