LVIII OM - I - Zadanie 12

Wielomian $ W $ o współczynnikach rzeczywistych przyjmuje w przedziale $ \langle a;b\rangle $ (gdzie $ {a<b} $) tylko wartości dodatnie. Udowodnić, że istnieją takie wielomiany $ P $ oraz $ Q_1,Q_2,\ldots,Q_m $, że

\[<br />
W(x)=P(x)^2+(x-a)(b-x)\sum_{i=1}^m Q_i(x)^2<br />
\]

dla każdej liczby rzeczywistej $ x $.

Rozwiązanie

Dowód przeprowadzimy indukcyjnie ze względu na stopień wielomianu $ W $.

Jeżeli $ W(x)\equiv c $ jest wielomianem stałym, to oczywiście $ c>0 $ i w tym przypadku można przyjąć $ P(x)\equiv\root\of{c} $, $ m=1 $ i $ Q_1(x)\equiv 0 $.

Przypuśćmy teraz, że teza zadania jest prawdziwa dla wszystkich wielomianów stopnia mniejszego niż $ n $ i niech $ W $ będzie wielomianem stopnia $ n $.

Funkcja

\[<br />
f(x)={W(x)\over (x-a)(b-x)}\ ,<br />
\]

rozważana w przedziale $ (a;b) $, jest ciągła i przyjmuje w nim wartości dodatnie, które przy końcach przedziału dążą do nieskończoności. Zatem w pewnym punkcie (niekoniecznie jednym) funkcja $ f $ osiąga swoją wartość minimalną $ c $; jest to liczba dodatnia.

Zachodzi wobec tego nierówność $ f(x)\geq c $, czyli $ W(x)\geq c(x-a)(b-x) $ dla $ x\in\langle a;b\rangle $, która w pewnym punkcie (punktach) staje się równością. Mówiąc obrazowo, $ c $ jest liczbą, dla której parabola $ y=c(x-a)(b-x) $ w przedziale $ \langle a;b\rangle $ jest ,,styczna od dołu'' do wykresu wielomianu $ W $ na tym przedziale, być może w kilku punktach (rys. 7). Tak więc wielomian $ G(x)=W(x)-c(x-a)(b-x) $ w badanym przedziale przyjmuje wartości nieujemne i posiada przynajmniej jeden pierwiastek (rys. 8).

om58_1r_img_7.jpg
om58_1r_img_8.jpg

Zauważmy, że $ G(a)=W(a) $ i $ G(b)=W(b) $, a więc wielomian $ G $ na końcach przedziału przybiera wartości dodatnie. Zatem pierwiastki wielomianu $ G $ w przedziale $ (a,b) $ mają parzystą krotność. Istnieją zatem takie liczby (niekoniecznie różne) $ g_1,g_2,\ldots, g_k\in(a,b) $, że wielomian $ G $ ma postać

$$G(x)=(x-g_1)^2(x-g_2)^2...(x-g_k)^2H(x),$$

przy czym wielomian $ H $ w przedziale $ \langle a;b\rangle $ przyjmuje tylko wartości dodatnie. Oznaczmy $ B(x)=(x-g_1)(x-g_2)...(x-g_k) $; mamy więc $ G(x)=B(x)^2H(x) $.

Jeśli $ m $ jest stopniem wielomianu $ G $, to $ m\leq n $, z wyjątkiem przypadku $ n=1 $, kiedy to $ m=2 $. Ponadto wielomian $ H $ ma stopień nie większy niż $ m-2 $. Zatem $ H $ jest wielomianem stopnia niższego niż $ W $. Wobec tego na mocy założenia indukcyjnego istnieje przedstawienie postaci

\[<br />
H(x)=P(x)^2+(x-a)(b-x)\sum_{i=1}^m Q_i(x)^2.<br />
\]

Stąd otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
W(x)&=G(x)+c(x-a)(b-x)=B(x)^2H(x)+<br />
c(x-a)(b-x)=  \\<br />
& = B(x)^2\Bigl(P(x)^2+(x-a)(b-x)<br />
\sum_{i=1}^m Q_i(x)^2\Bigr)+c(x-a)(b-x)=  \\<br />
& = (B(x)P(x))^2+(x-a)(b-x)\Bigl((\;\root\of{c}\;)^2+<br />
\sum_{i=1}^m(B(x)Q_i(x))^2\Bigr)<br />
\end{split}<br />
\]

i jest to żądane przedstawienie wielomianu $ W $. Tym samym rozwiązanie zadania zostało zakończone.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź