XXVI - II - Zadanie 3

W pewnej rodzinie mąż i żona zawarli następującą umowę: Jeżeli któregoś dnia zmywa naczynia żona, to następnego dnia zmywa naczynia mąż. Jeżeli natomiast pewnego dnia zmywa naczynia mąż, to o tym, kto zmywa naczynia następnego dnia, decyduje losowanie za pomocą rzutu monetą. Niech $ p_n $ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że $ n $-tego dnia trwania umowy zmywa naczynia mąż. Dowieść, że istnieje granica $ \lim_{n\to \infty} p_n $ i obliczyć ją. Przyjmujemy $ p_1 = \frac{1}{2} $.

Rozwiązanie

Jeżeli $ (n+1) $-szego dnia zmywa naczynia mąż, to albo $ n $-tego dnia zmywał naczynia mąż (prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe $  \displaystyle p_n \cdot \frac{1}{2}  $), albo $ n $-tego dnia zmywała naczynia żona (prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe $ 1- p_{n} $). Mamy więc $ \displaystyle p_{n+1} = \frac{1}{2} p_{n}+ (1-p_n) $, czyli $ \displaystyle<br />
 p_{n+1}- \frac{2}{3} = - \frac{1}{2} \left(p_{n} - \frac{2}{3} \right) $. Inaczej mówiąc $ \displaystyle p_{n} - \frac{2}{3} $ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $ \displaystyle \frac{1}{2} $. Każdy ciąg geometryczny o ilorazie $ q $, gdzie $ |q| < 1 $, jest zbieżny do zera. Zatem $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( p_{n} - \frac{2}{3} \right) = 0 $, czyli $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{2}{3} $.

Uwaga. Wartość $ p_1 $ nie ma wpływu na rozwiązanie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź