XXVI - II - Zadanie 4

Dowieść, że na to, aby liczby nieujemne $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ ($ n = 1, 2, \ldots $) spełniały dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ nierówność

\[<br />
\left( \sum_{i=1}^n a_i x_i^2 \right)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i x_i^4.<br />
\]

potrzeba i wystarcza, aby $ \sum_{i=1}^n a_i \leq 1 $.

Rozwiązanie

Jeżeli nierówność (1) zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_1, x_2, \ldots, x_n $, to w szczególności zachodzi dla $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 1 $. Podstawiając te wartości do (1) otrzymujemy

\[<br />
\left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i.<br />
\]

Stąd wobec $ \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \geq 0 $ wynika, że $ \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \leq 1 $.

Dla dowodu implikacji odwrotnej wykażemy, że dla dowolnych liczb nieujemnych $ u_1, u_2, \ldots, u_n $ i liczb rzeczywistych $ v_1, v_2, \ldots, v_n $ zachodzi nierówność

\[<br />
\left( \sum_{i=1}^n u_iv_i \right)^2 \leq \sum_{k=1}^n u_k \cdot<br />
\sum_{i=1}^n u_i v_i^2.<br />
\]

Wykonując mnożenie po obu stronach nierówności (2) otrzymujemy nierówność równoważną

\[<br />
\sum_{i=1}^n u_i^2 v_i^2 + 2 \sum_{i<j} u_iv_iu_jv_j \leq<br />
\sum_{i=1}^n u_i^2 v_i^2 + \sum_{k<i} u_ku_iv_i^2 + \sum_{k>i} u_ku_iv_i^2,<br />
\]

czyli

\[<br />
(3) \qquad \sum_{i<j} u_iu_j (v_i^2 + v_j^2 - 2v_iv_j) \geq 0.<br />
\]

Ponieważ $ v_i^2 + v_j^2 -2v_iv_j = (v_i - v_j)^2 \geq 0 $ oraz $ u_iu_j \geq 0 $, więc nierówność (3) jest prawdziwa. Zatem prawdziwa jest również nierówność (2).

Podstawiając w (2) $ u_i = a_i $ oraz $ v_i = x_1^2 $ dla $ i = 1,2, \ldots, n $ otrzymujemy, że jeżeli $ \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \leq 1 $ to zachodzi nierówność (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź