XXVI - II - Zadanie 6

Niech $ f(x) $ i $ g(x) $ będą wielomianami o współczynnikach całkowitych. Dowieść, że jeżeli dla każdej wartości całkowitej $ n $ liczba $ g(n) $ dzieli się przez liczbę $ f(n) $, to $ g(x) = f(x)\cdot h(x) $, gdzie $ h(x) $ jest wielomianem,. Pokazać na przykładzie, że współczynniki wielomianu $ h(x) $ nie muszą być całkowite.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu zadania przygotowawczego D serii III udowodniliśmy, że jeżeli wielomiany $ f $ i $ g $ mają współczynniki całkowite, $ \mathrm{st} f \leq \mathrm{st} g $ oraz dla każdej liczby naturalnej $ n $ liczba $ f(n) $ jest dzielnikiem liczby $ g(n) $, to istnieje taka liczba całkowita $ c $, że $ g(x) = c \cdot f(x) $. Zatem albo $ \mathrm{st} f = \mathrm{st} g $ (gdy $ c \ne 0 $), albo $ g $ jest wielomianem zerowym (gdy $ c = 0 $). Wystarczy więc rozpatrzyć przypadek, gdy $ \mathrm{st} g > \mathrm{st} f $.

Niech $ h $ i $ r $ będą odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia wielomianu $ g $ przez $ f $. Wtedy

\[<br />
(1) \qquad g = hf + r \ \textrm{i} \ \mathrm{st} r < \mathrm{st} f.<br />
\]

Wielomiany $ h $ i $ r $ mają współczynniki wymierne. Niech $ a $ będzie najmniejszym wspólnym mianownikiem współczynników wielomianów $ h $ i $ r $. Wtedy wielomiany $ H = ah $ oraz $ R = ar $ mają współczynniki całkowite i mnożąc równość (1) obustronnie przez $ a $ otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad ag = Hf+R.<br />
\]

Wobec tego wielomian $ ag $ też ma współczynniki całkowite.

Dla każdej liczby naturalnej $ n $ liczba $ f(n) $ oczywiście jest dzielnikiem liczby $ ag(n) $. Zatem na mocy (2) liczba $ f(n) $ jest dzielnikiem liczby $ R(n) = ag(n) - H(n) \cdot f(n) $ dla $ n=1,2, \ldots  $. Ponieważ $ \mathrm{st} R = \mathrm{st} r < \mathrm{st} f $, więc z początkowej uwagi w tym rozwiązaniu wynika, że $ R = ar $ jest wielomianem zerowym. Wobec tego również $ r $ jest wielomianem zerowym i z (1) otrzymujemy $ g = hf $.

Wykażemy na przykładzie, że współczynniki wielomianu $ h $ mogą nie być całkowite. Niech $ f(x) = 2 $, $ g(x) = x^2 + x $. Dla każdej liczby całkowitej $ n $ liczba $ g(n) = n(n + 1) $ jest parzysta, ponieważ jedna z liczb $ n $ i $ n+1 $ jest parzysta. Zatem liczba $ f(n) = 2 $ jest dzielnikiem liczby $ g(n) $ dla $ n = 1, 2, \ldots  $. Współczynniki wielomianu $ \displaystyle h(x) = \frac{g(z)}{f(x)} = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x $ oczywiście nie są całkowite.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź