XXVI - III - Zadanie 1

Ciąg liczb rzeczywistych $ {a_k}_{k=1}^{\infty} $ spełnia następujący warunek:
Istnieje liczba naturalna $ n $ taka, że $ a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 0 $ i $ a_{n+k} = a_k $ dla $ k = 1, 2, \ldots $.
Dowieść, że istnieje taka liczba naturalna $ N $, że $ \sum_{i=N}^{N+k} $ dla $ k = 0 $, $ 1, 2, \ldots $.

Rozwiązanie

Niech $ s_j = a_1+a_2+ \ldots + a_j $ dla $ j = 1, 2, \ldots $. Z założenia wynika, że suma dowolnych $ n $ kolejnych wyrazów ciągu $ \{a_k\}_{k=1}^\infty $ jest
równa zeru. Wobec tego $ s_{j+n} = s_j $ dla $ j = 1, 2, \ldots $. Liczba różnych wyrazów ciągu $ \{s_k\}_{k=1}^\infty $ jest więc skończona. Niech $ s_m $ będzie najmniejszą z liczb $ s_1, s_2, \ldots  $. Wykażemy, że wystarczy przyjąć $ N =m + 1 $. W istocie, dla dowolnego $ k \geq 0 $ mamy

\[<br />
\sum_{i=m+1}^{m+1+k} a_i = \sum_{i=1}^{m+1+k} a_i - \sum_{i=1}^{m} a_i =<br />
s_{m+1+k} - s_m \geq 0.<br />
\]

Komentarze

Niepełna treść zadania XXVI - III - 1

W tezie zadania występuje tylko znak sumy i jej zakres. Brak wyrażenia sumowanego i warunku, który ta suma ma spełniać.

Dodaj nową odpowiedź