XXVI - III - Zadanie 2

Na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 wybrano skończony zbiór odcinków w taki sposób, że każde dwa wierzchołki czworościanu można połączyć łamaną złożoną z pewnych spośród tych odcinków. Czy można wybrać ten zbiór odcinków tak, aby ich łączna długość była mniejsza niż $ 1 + \sqrt{3} $?

Rozwiązanie

Na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości $ 1 $ można tak wybrać skończony zbiór odcinków, że każde dwa wierzchołki czworościanu można połączyć łamaną złożoną z pewnych spośród tych odcinków oraz łączna długość odcinków należących do tego zbioru jest mniejsza od $ 1 + \sqrt{3} $.

Rozważmy mianowicie romb $ ABDC $ powstający z rozwinięcia na płaszczyźnie dwóch ścian danego czworościanu (rys. 10). Wtedy $ AB = 1 $ i $ \measuredangle BAC = 60^\circ $. Niech $ P $ będzie środkiem odcinka $ \overline{BC} $, a $ Q $ - takim punktem należącym do trójkąta $ ABP $, z którego widać boki $ \overline{AP} $ i $ \overline{BP} $ pod kątem $ 120^\circ $. Wtedy również $ \measuredangle AQB = 120^\circ $. Niech $ x = AQ $, $   y = BQ $, $    z = PQ $. Ponieważ $ \displaystyle AP = \frac{1}{2}\sqrt{3} $, $ \displaystyle  BP = \frac{1}{2} $ i $ \measuredangle APB = 90^\circ $, więc przjrównując pole trójkąta $ ABP $ do sumy pól trójkątów $ AQB $, $ BQP $ i $ AQP $ otrzymujemy $ \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} (xy+yz+zx) \cdot \sin 120^\circ $, czyli

\[<br />
(1) \qquad xy + yz+zx = \frac{1}{2}.<br />
\]

Ponieważ $ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} $ więc z twierdzenia cosinusów dla trójkątów $ AQB $, $ BQP $ i $ AQP $ otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad x^2 + y^2 + xy = 1,<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad y^2+z^2+yz=\frac{1}{4}<br />
\]
\[<br />
(4) \qquad z^2 + x^2+ zx = \frac{3}{4}.<br />
\]

Dodając stronami równości (2), (3), (4) oraz równość (1) pomnożoną przez $ 3 $ otrzymujemy $ 2(x+y+z)^2 =\displaystyle \frac{7}{2} $ i stąd $ x+y+z = \displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2} $.

Jeżeli $ Q' $ jest punktem symetrycznym do $ Q $ względem punktu $ P $, to zbiór odcinków $ \overline{AQ} $, $ \overline{BQ} $, $ \overline{QP} $, $ \overline{PQ'} $, $ \overline{GQ'} $, $ \overline{DQ'} $ ma własność podaną w zadaniu i suma długości tych odcinków jest równa $ \sqrt{7} $. Liczba ta jest mniejsza od $ 1 + \sqrt{3} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź