XXVI - III - Zadanie 4

W rozwinięciu dziesiętnym pewnej liczby naturalnej występują cyfry 1, 3, 7 i 9. Udowodnić, że przez permutację cyfr tego rozwinięcia można otrzymać rozwinięcie dziesiętne liczby podzielnej przez 7.

Rozwiązanie

Dokonując odpowiedniej permutacji cyfr danej liczby naturalnej możemy założyć, że ostatnimi czterema jej cyframi są $ 1 $, $ 3 $, $ 7 $ i $ 9 $. Zatem rozważana liczba naturalna $ n $ jest sumą liczby $ 1379 $ i pewnej liczby całkowitej nieujemnej $ a $, której ostatnimi czterema cyframi są zera. Udowodnimy, że dokonując odpowiedniej permutacji ostatnich czterech cyfr liczby $ n $ uzyskamy liczbę $ n' $ podzielną przez $ 7 $.

Liczby

\[<br />
(1) \qquad 1379,\ 1793,\ 3719,\ 1739,\ 1397,\ 1937,\ 1973<br />
\]

dają odpowiednio reszty $ 0 $, $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $, $ 6 $ przy dzieleniu przez $ 7 $. Zatem, jeżeli liczba $ a $ daje resztę $ r $ przy dzieleniu przez $ 7 $, to dodając do niej tę z liczb (1), która daje resztę $ 7 - r $ przy dzieleniu przez $ 7 $, otrzymamy żądaną liczbę $ n' $ podzielną przez $ 7 $ i powstającą przez permutację cyfr liczby $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź