LX OM - I - Zadanie 4

Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych
$ a $, $ b $, $ c $ prawdziwa jest nierówność

\[4(\sqrt{a^3b^3} + \sqrt{b^3c^3} + \sqrt{c^3a^3}) \leqslant 4c^3 +(a+b)^3.\]

Rozwiązanie

Korzystając z nierówności $ x+y \geqslant 2xy $ prawdziwej dla
dowolnych liczb nieujemnych $ x $, $ y $ otrzymujemy

\[<br />
(a+b)^3 = a^3 + b^3 +3ab(a+b) \geqslant a^3 + b^3 + 3ab\cdot2\sqrt{ab}<br />
= a^3 + b^3 +6\sqrt{a^3b^3}.<br />
\]

Wobec tego teza zadania wynika z następującego rachunku:

\[<br />
\begin{split}<br />
4c^3 +(a+b)^3 &- 4(\sqrt{a^3b^3} + \sqrt{b^3c^3} + \sqrt{c^3a^3})<br />
\geqslant \\<br />
& 4c^3 + a^3 + b^3 +6\sqrt{a^3b^3} -<br />
4(\sqrt{a^3b^3} + \sqrt{b^3c^3} + \sqrt{c^3a^3}) \\<br />
& =4c^3 + a^3 + b^3 +2\sqrt{a^3b^3} -4\sqrt{b^3c^3} - 4\sqrt{c^3a^3} \\<br />
& = (2\sqrt{c^3} - \sqrt{a^3} - \sqrt{b^3})^2 \geqslant 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź