LVIII OM - II - Zadanie 1

Wielomian $ P(x) $ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli wielomiany $ P(x) $ oraz $ P(P(P(x))) $ mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, to mają także wspólny pierwiastek całkowity.

Rozwiązanie

Niech liczba rzeczywista $ a $ będzie wspólnym pierwiastkiem wielomianów $ P(x) $ i $ P(P(P(x))) $. Z równości $ P(a)=0 $ oraz $ P(P(P(a)))=0 $ otrzymujemy $ P(P(0))=0 $. Liczba całkowita $ m=P(0) $ spełnia zatem warunki

\[<br />
P(m)=P(P(0))=0\quad\hbox{oraz}\quad P(P(P(m)))=P(P(P(P(0))))=P(P(0))=0,<br />
\]

co oznacza, że $ m $ jest żądanym wspólnym pierwiastkiem całkowitym.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź