XXV - I - Zadanie 2

Dowieść, że dla każdego $ m $ naturalnego

\[<br />
\frac{(2m+1)2m(2m-1)\ldots (m+2)}{m!} < 2^{2m}<br />
\]

Rozwiązanie

Mamy dowieść, że

\[<br />
(1) \qquad \binom{2m + 1}{m} < 2^{2m}.<br />
\]

Ze wzoru $ \displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $, gdzie $ 0 \leq k \leq n $, wynika w szczególności, że $ \displaystyle \binom{2m+1}{m} = \binom{2m+1}{m+1} $. Ze wzoru dwumianowego otrzymujemy

\[<br />
2^{2m+1}= (1+1)^{2m+1} = \sum_{i=0}^{2m+1} \binom{2m + 1}{m} ><br />
\binom{2m+1}{m} + \binom{2m+1}{m+1} = 2 \binom{2m+1}{m}.<br />
\]

Wynika stąd nierówność (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź