XXV - I - Zadanie 3

Udowodnić, że dwusieczne kątów utworzonych przez proste zawierające przeciwległe boki czworokąta wypukłego wpisanego w okrąg są odpowiednio równoległe do dwusiecznych kątów utworzonych przez proste zawierające przekątne tego czworokąta.

Rozwiązanie

Niech $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ będą kolejnymi wierzchołkami czworokąta wpisanego w okrąg. Niech $ O $ będzie punktem przecięcia prostych $ AB $ i $ CD $, a $ k $ niech będzie dwusieczną kąta $ \measuredangle AOD $ (rys. 12). Jeżeli $ A' $ i $ C' $ są obrazami punktów $ A $ i $ C $ odpowiednio w symetrii względem prostej $ k $, to proste $ A'C' $ i $ BD $ są równoległe. Mamy bowiem $ \measuredangle OBD = \measuredangle ACO $ (jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku) oraz $ \measuredangle ACO = \measuredangle A'C'O $ (symetria zachowuje miary kątów). Zatem odpowiednie dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste $ AC $ i $ BD $ oraz $ AC $ i $ A'C' $ są równoległe. Tą ostatnią dwusieczną jest prosta $ k $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź