XXV - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeśli $ x_1, \ldots, x_n $ są takimi liczbami rzeczywistymi, że $ \sum_{i=1}^n x_i = 0 $, to dla dowolnych liczb rzeczywistych $ t_1, t_2, \ldots, t_n $ prawdziwa jest nierówność

\[<br />
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (t_i-t_j)^2 x_ix_j<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ $ \displaystyle \sum_{k=1}^n x_k = 0 $, więc

\[<br />
\begin{split}<br />
& \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (t_i - t_j)^2 x_ix_j =<br />
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (t_i - t_j)^2 \left( t_i^2 - 2t_it_j + t_j^2 \right) x_ix_j =\\<br />
&\quad=\sum_{i=1}^n t_i^2 x_i \sum_{j=1}^n x_j -<br />
2 \sum_{i=1}^n t_i x_i \sum_{j=1}^n t_jx_j  +<br />
\sum_{i=1}^n x_i \cdot \sum_{j=1}^n t_j^2x_j=<br />
-2 \left( \sum_{i=1}^n t_ix_i \right)^2 \leq 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź