XXV - I - Zadanie 5

Dowieść, że dla każdego $ k $, $ k $-te od końca cyfry w układzie dziesiętnym liczb $ 5, 5^2, 5^3, \ldots $ tworzą od pewnego miejsca ciąg okresowy.

Rozwiązanie

Niech $ a_n $ będzie liczbą utworzoną z $ k $ ostatnich cyfr liczby $ 5^n $. Wystarczy dowieść, że ciąg $ \{a_n\} $ jest okresowy. Liczba $ a_n $ jest resztą z dzielenia liczby $ 5^n $ przez $ 10^k $, tzn.$  5^n = 10^k \cdot b_n + a_n $, gdzie $ b_n \geq 0 $ i $ 0 \leq a_n < 10^k $. Stąd $ 5^{n+1} = 5 \cdot 10^k \cdot bn + 5 \cdot a_n $ oraz $ 5^{n+1} = 10^k \cdot b_{n+1} + a_{n+1} $. Zatem liczby $ 5^{n+1} $ i $ 5 \cdot a_n $ dają tę samą resztę $ a_{n+1} $ z dzielenia przez $ 10^k $. Wobec tego $ a_{n+1} $ jest liczbą utworzoną z $ k $ ostatnich cyfr liczby $ 5 \cdot a_n $. Wynika stąd, że każdy wyraz ciągu $ \{a_n\} $ jednoznacznie wyznacza wyraz następny. Ponieważ ciąg $ \{a_n\} $ przybiera tylko skończoną liczbę wartości (nie więcej niż $ 10^k $), więc pewien wyraz ciągu się powtarza: $ a_r = a_{r+t} $ dla pewnych naturalnych $ r $ i $ t $. Wobec tego $ a_{r+1} = a_{r+t+1} $ i ogólnie $ a_{r+s} = a_{r+t+s} $ dla $ s = 1, 2, \ldots  $. Ciąg $ \{a_n\} $ jest więc od pewnego miejsca okresowy.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź