XXV - I - Zadanie 6

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a, b, c $ pewna, wartość funkcji $ f(x) = |a \sin x + b \sin 2x + c sin 4x| $ jest nie mniejsza od $ \frac{1}{2}(|a| + |b| + |c|) $.

Rozwiązanie

Ponieważ zmiana znaków liczb $ a $, $ b $, $ c $ nie zmienia warunków zadania, więc bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że $ a \geq 0 $. Wtedy w zależności od znaków liczb $ b $ i $ c $ następująca liczba $ x $ spełnia warunki zadania: jeżeli $ b \geq 0 $ i $ c \geq 0 $, to $ x = \displaystyle \frac{\pi}{6} $; jeżeli $ b \geq 0 $ i $ c \leq 0 $, to $ x = \displaystyle \frac{\pi}{3} $; jeżeli $ b \leq 0 $ i $ c \geq 0 $, to $ x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} $; jeżeli $ b \leq 0 $ i $ c \leq 0 $, to $ x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} $.

Rozpatrzymy na przykład ostatni przypadek, w pozostałych - dowód przebiega podobnie. Ponieważ $ b \leq 0 $ i $ c \leq 0 $, więc

\[<br />
\begin{split}<br />
 f\left( \frac{5}{6} \pi \right)&=<br />
\left| \frac{1}{2}a - \frac{\sqrt{3}}{2}b - \frac{\sqrt{3}}{2}c \right|=<br />
\left| \frac{1}{2}a + \frac{\sqrt{3}}{2}(-b) + \frac{\sqrt{3}}{2}(-c) \right|=\\<br />
&=\frac{1}{2}a + \frac{\sqrt{3}}{2}(-b) + \frac{\sqrt{3}}{2}(-c) \geq \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}(-b) + \frac{1}{2}(-c) = \frac{1}{2} (|a|+|b|+|c|).<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź