LVIII OM - II - Zadanie 2

Dany jest pięciokąt wypukły $ ABCDE $, w którym

\[BC=CD,\quad DE=EA,\quad \measuredangle BCD=\measuredangle DEA=90^\circ.<br />
\]

Udowodnić, że z odcinków o długościach $ AC $, $ CE $, $ EB $ można zbudować trójkąt. Wyznaczyć miary jego kątów, znając miarę $ \alpha $ kąta $ ACE $ i miarę $ \beta $ kąta $ BEC $.

Rozwiązanie

Niech $ P $ będzie obrazem punktu $ B $ przy obrocie o kąt $ 90^\circ $ wokół punktu $ E $ (rys. 9); wtedy oczywiście proste $ BE $ i $ EP $ są prostopadłe oraz $ BE=EP $.

Przy tym obrocie punkt $ A $ przechodzi na punkt $ D $, a zatem trójkąty $ ABE $ oraz $ DPE $ są przystające. Stąd wynika, że $ AB=DP $ oraz $ \measuredangle EAB=\measuredangle EDP $.

om58_2r_img_9.jpg

W każdym pięciokącie suma kątów wewnętrznych wynosi $ 540^\circ $, a więc $ \measuredangle EAB+\measuredangle<br />
ABC+\measuredangle CDE=360^\circ $. Wobec tego

\[<br />
\measuredangle PDC=360^\circ-\measuredangle EDC-\measuredangle EDP=<br />
360^\circ-\measuredangle EDC-\measuredangle EAB=\measuredangle ABC\,.<br />
\]

Stąd oraz z zależności $ AB=DP $ oraz $ BC=DC $ wynika, że trójkąty $ PDC $ i $ ABC $ są przystające. A skoro punkt $ D $ przy obrocie o kąt $ 90^\circ $ wokół punktu $ C $ przechodzi na punkt $ B $, więc punkt $ P $ przy tym obrocie musi przejść na punkt $ A $. Stąd wynika, że proste $ AC $ i $ PC $ są prostopadłe oraz $ AC=PC $. Trójkąt $ EPC $ jest zatem zbudowany z odcinków o długościach $ AC $, $ CE $, $ EB $.

Ponieważ proste $ BE $ i $ PE $ są prostopadłe, więc $ \measuredangle PEC=90^\circ-\beta $. Analogicznie uzyskujemy $ \measuredangle ACP=90^\circ-\alpha $. Wobec tego miary kątów trójkąta zbudowanego z odcinków $ AC $, $ CE $, $ EB $ wynoszą: $ 90^\circ{-}\beta $, $ \alpha+\beta $, $ 90^\circ{-}\alpha $.