XXV - I - Zadanie 7

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie ostrokątnym każdą wysokość można za pomocą ruchu sztywnego przenieść wewnątrz trójkąta tak, aby jej spodek zajął miejsce wierzchołka, a wierzchołek miejsce spodka, to trójkąt jest równoboczny.

Rozwiązanie

Jeżeli $ h $ jest długością pewnej wysokości trójkąta $ ABC $, to z warunków zadania wynika, że w trójkącie $ ABC $ można umieścić odcinek o długości $ h $ mający dowolny zadany z góry kierunek. Jeżeli trójkąt $ ABC $ nie jest równoboczny, to długości pewnych jego wysokości są różne, np. $ h_A > h_B $. Wtedy nie można w tym trójkącie umieścić odcinka o długości $ h_A $, który byłby równoległy do wysokości poprowadzonej z punktu $ B $. Najdłuższym bowiem odcinkiem o tym kierunku zawartym w trójkącie $ ABC $ jest wysokość poprowadzona z punktu $ B $, która ma długość $ h_B $. Zatem trójkąt $ ABC $ spełniający warunki zadania jest równoboczny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź