XXV - I - Zadanie 8

Dany jest wielościan wypukły i punkt $ A $ w jego wnętrzu. Udowodnić, że istnieje taka ściana $ S $ tego wielościanu, że rzut prostokątny punktu $ A $ na jej płaszczyznę należy do $ S $.

Rozwiązanie

Niech $ S $ będzie taką ścianą danego wielościanu, że odległość $ d $ punktu $ A $ od płaszczyzny ściany $ S $ jest nie większa od odległości tego punktu od płaszczyzny każdej innej ściany wielościanu. Niech $ k $ będzie półprostą o początku w punkcie $ A $ prostopadłą do płaszczyzny ściany $ S $. Jeżeli półprosta $ k $ nie przecina ściany $ S $, to przecina pewną inną ścianę $ T $ danego wielościanu w punkcie $ P $. Z wypukłości danego wielościanu wynika, że punkty $ A $ i $ P $ należą do jednej półprzestrzeni wyznaczonej przez płaszczyznę ściany $ S $. Zatem $ AP < d $ tym bardziej odległość punktu $ A $ od płaszczyzny ściany $ T $ jest mniejsza od $ d $. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że półprostą $ k $ przecina ścianę $ S $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź