XXV - I - Zadanie 10

Każda przekątna pewnego pięciokąta wypukłego odcina od niego trójkąt o polu 1. Obliczyć pole tego pięciokąta.

Rozwiązanie

Niech $ ABCDE $ będzie danym pięciokątem wypukłym, a $ A'B'C'D'E' $ - takim pięciokątem foremnym, że pole trójkąta $ A'B'C' $ jest równe $ 1 $. Ponieważ trójkąty $ ABC $ i $ ABE $ mają równe pola, więc odległości punktów $ C $ i $ E $ od prostej $ AB $ są równe. Zatem $ CE \parallel AB $ i podobnie każda przekątna pięciokąta $ ABCDE $ jest równoległa do odpowiedniego boku.

Dla dowolnej trójki punktów niewspółliniowych istnieje takie przekształcenie afiniczne, które przeprowadza ją na dowolną inną trójkę punktów niewspółliniowych. Niech $ \varphi $ będzie takim przekształceniem afinicznym płaszczyzny, że $ \varphi(A) = A' $, $ \varphi(B) = B' $ i $ \varphi(C) = = C' $. Każde przekształcenie afiniczne zachowuje stosunek pól. Ponieważ pola trójkątów $ ABC $ i $ \varphi(A) \varphi(B) \varphi(C) $ są równe, więc przekształcenie $ \varphi $ zachowuje pola.

Przekształcenie afiniczne zachowuje równoległość odcinków. Zatem $ \varphi(C)\varphi(E) \parallel \varphi(A)\varphi(B) $, czyli $ C' \varphi(E) \parallel A'B' $. Wobec tego $ (E) \in C'E' $ i podobnie 9 $ \varphi(D) \in A'D' $. Ponadto mamy $ \varphi(D)\varphi(E) \parallel A'C' $ i stąd $ \varphi(D)\varphi(E) \parallel D'E' $ (rys. 13).

Gdyby $ \varphi(D) \ne D' $, to jeden z trójkątów $ C'\varphi(D)\varphi(E) $ i $ C'D'E' $ byłby ściśle zawarty w drugim. Jest to niemożliwe, ponieważ mają one równe pola. Stąd $ \varphi(D) = D' $ i podobnie $ \varphi(E) = E' $. Zatem obrazem pięciokąta $ ABCDE $ w przekształceniu $ \varphi $ jest pięciokąt foremny $ A'B'C'D'E' $. Pola pięciokątów tych są więc równe.

To ostatnie pole łatwo jest obliczyć. Pole trójkąta $ A'B'C' $ jest równe

\[<br />
1 = \frac{1}{2} A'B' \cdot B'C' \sin \measuredangle A'B'C' = \frac{1}{2} a^2      \sin \frac{3}{5} \pi,<br />
\]

gdzie $ a = A'B' $ (rys. 14). Stąd $ \displaystyle a^2 = \frac{2}{\sin \frac{3}{5}\pi} $. Odległość $ d $ boku $ A'B' $ od środka pięciokąta foremnego jest równa $ \displaystyle d = \frac{a}{2} \tan \frac{3}{10} \pi $.

Zatem pole pięciokąta $ A'B'C'D'E' $ jest równe

\[<br />
5 \cdot \frac{1}{2} ad = \frac{5}{4} a^2 \tan \frac{3}{10} \pi =<br />
\frac{5}{4 \cos^2 \frac{3}{10} \pi } \approx 3,62.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź