XXV - I - Zadanie 11

Niech $ X_n $ i $ Y_n $ bądą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie $ \left{ \left(\frac{k}{2^n}, \frac{1}{2^n}\right) : k = 0, 1, \ldots, 2^n-1\right} $. Oznaczmy przez $ p_n $ prawdopodobieństwo zdarzenia, że istnieje liczba rzeczywista $ t $ spełniająca równanie $ t^2 + X_n \cdot t + Y_n = 0 $. Obliczyć $ \lim_{n\to\infty} p_n $.

Rozwiązanie

Zdarzenie sprzyjające polega na tym, że wyróżnik trójmianu $ t^2 + X_n t + Y_n $ jest liczbą nieujemną. Niech $ \displaystyle X_n = \frac{r}{2^n} $, $ \displaystyle Y_n = \frac{s}{2^n} $, gdzie $ r, s = 0, 1, \ldots, 2^n - 1 $. Nierówność $ X_n^2 - 4 Y_n \geq 0 $ jest równoważna nierówności $ r^2 - 4 \cdot 2^n s \geq 0 $, czyli

\[<br />
(1) \qquad 0 \leq s \leq \frac{r^2}{4 \cdot 2^n}.<br />
\]

Znajdziemy więc liczbę takich par $ (r, s) $, dla których zachodzi (1). Dla dowolnego $ a $ liczba rozwiązań nierówności $ 0 \leq x \leq a $ w liczbach całkowitych $ x $ jest równa $ [a] + 1 $, gdzie $ [a] $ jest największą liczbą całkowitą nie przekraczającą $ a $. Zatem liczba par $ (r, s) $ spełniających
(1) jest równa

\[<br />
A_n = \sum_{r=0}^{2^n-1} \left( \left[ \frac{r^2}{4 \cdot 2^n} \right] +1 \right).<br />
\]

Rozważmy sumę

\[<br />
B_n = \sum_{r=0}^{2^n-1} \frac{r^2}{4 \cdot 2^n} =<br />
\frac{1}{4 \cdot 2^n} \sum_{r=0}^{2^n-1} r^2.<br />
\]

Na mocy wzoru

\[<br />
1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{1}{6} k(k+ 1)(2k+1)<br />
\]

mamy

\[<br />
(2) \qquad B_n = \frac{1}{4 \cdot 2^n} \cdot \frac{1}{6}(2^n - 1) 2^n (2^{n+1} - 1) = \frac{1}{12} \left( 2^{2n} - 3 \cdot 2^{n-1} + \frac{1}{2} \right).<br />
\]

Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność

\[<br />
x < [x] + 1 \leq  x + 1,<br />
\]

więc

\[<br />
(3) \qquad B_n < A_n \leq \sum_{r=0}^{2^n-1} \left( \frac{r^2}{4 \cdot 2^n} + 1 \right) = B_n + 2^n.<br />
\]

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli rozważanych par $ (r, s) $, jest równa $ 2^{2n} $. Wobec tego $ \displaystyle p^n = \frac{A^n}{2^{2n}} $ i z (3) wynika, że

\[<br />
(4) \qquad \frac{B_n}{2^{2n}} < p_n \leq \frac{B_n}{2^{2n}} + \frac{1}{2^n}.<br />
\]

Z (2) otrzymujemy, że $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{B_n}{2^{2n}} = \frac{1}{12} $ i wobec tego z (4) wnosimy, że $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{12} $

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź