XXV - I - Zadanie 12

Dowieść, że w dowolnym kącie trójściennym, w którym co najwyżej jeden kąt płaski jest prosty, trzy proste prostopadłe w wierzchołku kąta trójściennego do jego krawędzi i zawarte w płaszczyznach ścian przeciwległych do tych krawędzi są zawarte w jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Niech $ a $, $ b $, $ c $ będą niezerowymi wektorami równoległymi do krawędzi danego kąta trójściennego. Żadne dwa z tych wektorów nie są więc równoległe. Z warunków zadania wynika, że co najmniej dwie z liczb $ \lambda = bc $, $ \mu = ca $, $ \nu = ab $ są różne od zera, ponieważ co najwyżej jedna para wektorów z $ a $, $ b $, $ c $ jest prostopadła. Zatem wektory

\[<br />
(1) \qquad r = \lambda a - \mu b, \quad s = \mu b - \nu c, \quad t = \nu c - \lambda a<br />
\]

są niezerowe. Z (1) wynika, że $ r + s = -t $, czyli wektory $ r $, $ s $, $ t $ są równoległe do jednej płaszczyzny. Mamy też $ rc = \lambda ac - \mu bc = \lambda  \mu - \mu \lambda = 0 $, tzn. wektory $ r $ i $ c $ są prostopadłe. Podobnie dowodzimy, że $ s \bot a $ i $ t \bot b $.

Wobec tego prosta zawarta w płaszczyźnie równoległej do wektorów $ a $ i $ b $ i prostopadła do krawędzi równoległej do wektora $ c $ ma kierunek wektora $ r $. Analogicznie dowodzimy, że pozostałe dwie proste, o których jest mowa w zadaniu, są równoległe odpowiednio do wektorów $ s $ i $ t $.

Jak wykazaliśmy, wektory $ r $, $ s $, $ t $ są równoległe do jednej płaszczyzny. Każda z prostych rozpatrywanych w zadaniu jest równoległa do jednego z tych wektorów i proste te mają punkt wspólny. Zatem te trzy proste są zawarte w jednej płaszczyźnie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź