XXV OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że dla każdego $ n = 2, 3, \ldots $ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $ t_1, t_2, \ldots, t_n $, $ s_1, s_2, \ldots, s_n $, jeżeli

\[<br />
\sum_{i=1}^n t_i = 0, \text{ to } \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n t_it_j |s_i-s_j| \leq 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Dokonując tej samej permutacji ciągów $ t_1, t_2, \ldots,t_n $ i $ s_1, s_2, \ldots, s_n $ nie zmieniamy warunków zadania. Możemy więc założyć, że ciąg $ s_1, s_2, \ldots, s_n $ jest niemalejący.

Niech $ a_k = s_{k+1} - s_k $ dla $ k = 1, 2, \ldots, n-1 $. Wtedy dla $ i <j $ mamy $ s_j - s_i = (s_j - s_{j-1}) + (s_{j-1} - s_{j-2}) + \ldots + (s_{i+ 1} - s_i) $.

Wobec tego

\[<br />
(1) \qquad |s_j - s_i | = \sum_{i \leq k < j} a_k \ \textrm{dla} \ i<j.<br />
\]

W sumie

\[<br />
(2) \qquad \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n t_i t_j |s_i - s_j |<br />
\]

składnik odpowiadający parze wskaźników $ (i,j) $ jest równy składnikowi odpowiadającemu parze $ (j, i) $. Ponadto, jeżeli $ i = j $, to składnik odpowiadający parze $ (i,j) $ jest równy zeru. Wobec tego suma (2) jest równa

\[<br />
(3) \qquad 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} t_it_j |s_i - s_j |.<br />
\]

Na mocy (1) sumę tę możemy zapisać w postaci

\[<br />
2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} t_it_j \sum_{i \leq k < j} a_k,<br />
\]

czyli

\[<br />
(4) \qquad 2 \sum_{1 \leq i \leq k < j \leq n} t_it_j a_k.<br />
\]

Suma składników w (4) odpowiadających ustalonym wartościom $ i $ i $ k $ jest równa

\[<br />
(5) \qquad  \sum_{j=k+1}^n t_it_j a_k =<br />
t_i a_k \sum_{j=k+1}^n t_j = -t_i a_k \sum_{j=1}^k t_j,<br />
\]

ponieważ $ \displaystyle \sum_{j=1}^k t_j + \sum_{j=k+1}^n t_j = \sum_{j=1}^n t_j =0  $ z założenia.

Wobec tego na mocy (5) suma (4) jest równa

\[<br />
\begin{split}<br />
2 \sum_{1 \leq i \leq k < n} \sum_{j=k+1}^n t_i t_j a_k &=<br />
- 2 \sum_{1 \leq i \leq k < n} t_i a_k \sum_{j=1}^k t_j =- 2 \sum_{k=1}^{n-1} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k a_k t_i t_j =\\<br />
&=<br />
- 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k \sum_{i=1}^k t_i \sum_{j=1}^k t_j =- 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k \left( \sum_{i=1}^k t_i \right)^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Ta ostatnia liczba jest niedodatnia, ponieważ każda z liczb $ a_k $ jest nieujemna.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź