XXV OM - II - Zadanie 3

Udowodnić, że rzuty prostokątne wierzchołka $ D $ czworościanu $ ABCD $ na płaszczyzny dwusieczne kątów dwuściennych wewnętrznych i zewnętrznych przy krawędziach $ \overline{AB} $, $ \overline{BC} $ i $ \overline{CA} $ należą do jednej płaszczyzny.

Rozwiązanie

Płaszczyzna dwusieczna jest płaszczyzną symetrii kąta dwuściennego. Wobec tego obraz $ D' $ wierzchołka $ D $ w symetrii względem dowolnej z rozważanych płaszczyzn dwusiecznych należy do płaszczyzny $ ABC $. Wynika stąd, że jeżeli $ P $ jest rzutem prostokątnym punktu $ D $ na płaszczyznę dwusieczną, to $ P $ jest środkiem odcinka $ \overline{DD'} $. Zatem punkt $ P $ jest obrazem punktu $ D' $ w jednokładności $ \varphi $ o środku w punkcie $ D $ i stosunku $ \displaystyle \frac{1}{2} $. Wobec tego rzuty punktu $ P $ na wszystkie rozważane płaszczyzny dwusieczne należą do płaszczyzny będącej obrazem płaszczyzny $ ABC $ w jednokładności $ \varphi $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź