XXV OM - II - Zadanie 4

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ o polu $ S $ każdy z boków podzielono na 3 równe części i poprowadzono odcinki łączące odpowiednie punkty podziału przeciwległych boków w ten sposób, że czworokąt został podzielony na 9 czworokątów. Dowieść, że suma pól następujących trzech czworokątów powstałych z podziału: zawierającego wierzchołek $ A $, środkowego i zawierającego wierzchołek $ C $ równa jest $ \frac{S}{3} $.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw
Lemat. Odcinek łączący odpowiednie punkty podziału przeciwległych boków czworokąta danego w zadaniu przecina się z analogicznymi odcinkami łączącymi odpowiednie punkty podziału pozostałych boków czworokąta w punktach, które dzielą ten odcinek na trzy równe części.

Dowód. Niech punkty $ S $, $ Z $, $ W $, $ R $ odpowiednio dzielą boki $ \overline{AB} $, $ \overline{BC} $, $ \overline{DC} $, $ \overline{AD} $ danego czworokąta $ ABCD $ w stosunku $ 1 \colon 2 $ (rys. 16). Niech $ E $ będzie punktem przecięcia odcinków $ \overline{RZ} $ i $ \overline{SW} $. Wystarczy dowieść, że punkt $ E $ dzieli każdy z tych odcinków w stosunku $ 1 \colon 2 $.

Ponieważ

\[<br />
\frac{AR}{AD} = \frac{AS}{AB} = \frac{1}{3},<br />
\]

więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa mamy $ RS \parallel DB $. Wynika stąd, że trójkąty $ ARS $ i $ ADB $ są podobne w stosunku $ 1 \colon 3 $. Stąd

\[<br />
(1) \qquad \frac{RS}{DB} = \frac{1}{3}.<br />
\]

Analogicznie z równości $ \displaystyle \frac{CW}{CD} = \frac{CZ}{CB} = \frac{2}{3} $ wynika, że $ WZ \parallel DB $. Zatem trójkąty $ CWZ $ i $ CDB $ są podobne w stosunku $ 2 \colon 3 $. Stąd

\[<br />
(2) \qquad \frac{WZ}{DB} = \frac{2}{3}.<br />
\]

Z (1) i (2) wynika, że $ \displaystyle \frac{RS}{WZ} = \frac{1}{2} $. Ponadto mamy $ RS \parallel WZ $. Zatem trójkąty $ RSE $ i $ ZWE $ są podobne w stosunku $ 1 \colon 2 $. W szczególności wynika stąd, że $ \displaystyle \frac{RE}{EZ} = \frac{SE}{EW} = \frac{1}{2} $.

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Niech punkty $ R,G \in \overline{AD} $, $ W,P \in \overline{DC} $, $ Q,Z \in \overline{BC} $, $ S, H \in \overline{AB} $ dzielą odpowiednio każdy z odcinków $ \overline{AD} $, $ \overline{DC} $, $ \overline{BC} $, $ \overline{AB} $ na trzy równe części (rys. 17). Wtedy z lematu wynika, że punkty $ E, U \in \overline{RZ} $, $ T, F \in \overline{GQ} $, $ E, T \in \overline{WS} $, $ F,U \in \overline{HP} $ dzielą odpowiednio każdy z odcinków $ \overline{RZ} $, $ \overline{GQ} $, $ \overline{WS} $, $ \overline{HP} $ na trzy równe części.

\spos{1} Ponieważ $ RE = EU $, $ TE = ES $, więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że $ RS \parallel TU $. Zatem trójkąty $ ERS $ i $ ETU $ są przystające. Stąd $ RS = TU $.

Dowodząc lematu wykazaliśmy, że $ RS \parallel DB $ i $ RS = \displaystyle \frac{1}{3} DB $. Podobnie $ PQ \parallel DB $ i $ PQ = \displaystyle \frac{1}{3} DB $. Mamy więc $ TU \parallel RS \parallel DB \parallel PQ $ oraz

\[<br />
(3) \qquad PQ = RS = TU = \frac{1}{3} DB.<br />
\]

Prowadząc wysokości w trójkątach

\[<br />
(4) \qquad ARS,\ ERS,\ ETU,\ FTU,\ FPQ,\ CPQ<br />
\]

na podstawy odpowiednio $ \overline{RS} $, $ \overline{TU} $, $ \overline{PQ} $ widzimy, że suma długości tych wysokości jest równa sumie długości $ h' $ i $ h'' $ wysokości trójkątów $ ABD $ i $ CBD $ poprowadzonych na podstawę $ \overline{DB} $. Ponieważ długości podstaw trójkątów (4) są równe (na mocy (3) są one równe $ \displaystyle \frac{1}{3} DB $), więc suma ich pól, czyli suma pól czworokątów $ ARSE $, $ ETFU $, $ FPCQ $ jest równa połowie iloczynu liczby $ \displaystyle \frac{1}{3} DB $ przez sumę ich wysokości, czyli liczbie

\[<br />
\frac{1}{2} (h' + h'') \frac{1}{3} DB = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} h' \cdot DB + \frac{1}{2} h'' \cdot DB \right) = \frac{1}{3} (S_{ABD} + S_{CBD}) =<br />
\frac{1}{3} S_{ABCD}.<br />
\]

Uwaga. Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe w przypadku podziału boków czworokąta $ ABCD $ na $ n $ równych części, gdzie $ n > 3 $. Wtedy suma pól czworokątów położonych na przekątnej jest równa $ \displaystyle \frac{1}{n} S_{ABCD} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź