XXV OM - II - Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $ q,t \in \langle \frac{1}{2}; 1) $, $ t \in (0; 1 \rangle $. Udowodnić, że istnieje taki rosnący ciąg liczb naturalnych $ {n_k} $ ($ k = 1,2, \ldots $), że

\[<br />
t = \lim_{N\to \infty} \sum_{j=1}^N q^{n_j}.<br />
\]

Rozwiązanie

Ciąg $ \{n_k\} $ $ (k = 1,2, \ldots) $ określamy indukcyjnie, jak następuje. Ponieważ $ 0 < q < 1 $, więc $ q^0= 1 $ oraz $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} q^n = 0 $. Dla każdej liczby $ t $ należącej do przedziału $ (0;\ 1 \rangle $ istnieje więc taka liczba naturalna $ n_1 $, że

\[<br />
g^{n_1} < t \leq q^{n_1-1}.<br />
\]

Wtedy

\[<br />
0 < t - q^{n_1} \leq q^{n_1-1} - q^{n_1} = q^{n_1-1} (1 - q) \leq = q^{n_1},<br />
\]

ponieważ $ 1 - q \leq q $ dla $ \displaystyle q \in \langle \frac{1}{2};\ 1) $.

Załóżmy z kolei, że dla pewnej liczby naturalnej $ k $ został już określony taki rosnący ciąg liczb naturalnych $ n_1, n_2, \ldots, n_k $, że

\[<br />
(1) \qquad 0 < t - \sum_{j=1}^k q^{n_j} \leq q^{n_k}.<br />
\]

Jako $ n_{k+1} $ przyjmujemy taką liczbę naturalną $ m $, że

\[<br />
(2) \qquad q^m < t - \sum_{j=1}^k q^{n_j} \leq q^{m-1}.<br />
\]

Z (1) i (2) wynika, że $ q^m < q^{n_k} $, a więc $ m > n_k $, czyli $ n_{k+1} > n_k $. Ponadto z (2) otrzymujemy

\[<br />
0 < t - \sum_{j=1}^{k+1} q^{n_j} = t - \sum_{j=1}^k q^{n_j} - q^{n_{k+1}} \leq q^{m-1} - q^m = q^{m-1} (1-q) \leq q^m = q^{n_{k+1}},<br />
\]

ponieważ $ 1 - q \leq q $ dla $ q \in \langle \frac{1}{2};\ 1) $.

Wobec tego na mocy zasady indukcji istnieje taki nieskończony rosnący ciąg liczb naturalnych $ n_1, n_2,\ldots $, że spełniony jest warunek (1) dla $ k = 1, 2, \ldots  $.

Ponieważ $ \displaystyle \lim_{n \to\infty} q^{n_k} = 0 $, więc z (1) wynika, że

\[<br />
\lim_{k \to \infty} (t - \sum_{j=1}^k q^{n_j}) = 0,\ \textrm{czyli}\ t = \lim_{k \to \infty} \sum_{j=1}^k q^{n_j} = \sum_{j=1}^\infty q^{n_j}.<br />
\]

Uwaga. Ciąg $ \{n_k \} $ spełniający warunki zadania na ogół nie jest wyznaczony jednoznacznie. Rozpatrzmy wielomian $ f(x) = x^3 + x^2 - 1 $. Ma on pierwiastek w przedziale $ \displaystyle \left( \frac{1}{2};\ 1 \right) $, ponieważ na końcach tego przedziału $ f(x) $ przybiera wartości przeciwnych znaków. Oznaczmy taki pierwiastek przez $ q $. Wtedy obliczając sumy szeregów geometrycznych otrzymujemy

\[<br />
\sum_{n=1}^\infty q^{2n} = \frac{q^2}{1-q^2} \ \textrm{oraz} \<br />
\sum_{n=1}^\infty q^{3n-2} = \frac{q}{1-q^3}.<br />
\]

Przy tym z równości $ q^3 + q^2 - 1 = 0 $ wynika, że

\[<br />
\frac{q^2}{1-q^2} = \frac{q^2}{q^3} = \frac{1}{q} \ \textrm{oraz} \<br />
\frac{q}{1-q^3} =  \frac{q}{q^2} = \frac{1}{q}.<br />
\]

Zatem

\[<br />
\sum_{n=1}^\infty q^{2n} = \sum_{n=1}^\infty q^{3n-2}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź