XXV OM - II - Zadanie 6

Dany jest ciąg liczb całkowitych $ a_1, a_2, \ldots, a_{2n+1} $ o następującej własności: po odrzuceniu dowolnego wyrazu pozostałe można podzielić na takie dwie grupy po $ n $ wyrazów, że suma wyrazów w pierwszej grupie równa jest sumie wyrazów w drugiej. Dowieść, że wszystkie wyrazy ciągu są równe.

Rozwiązanie

\spos{1} Zauważmy najpierw, że jeżeli pewien ciąg liczb rzeczywistych

\[<br />
(1) \qquad a_1, a_2, \ldots, a_{2n + 1}<br />
\]

spełnia warunki zadania, to również spełnia je każdy z ciągów

\[<br />
a_1 + k, a_2 + k, \ldots, a_{2n+1} + k,<br />
\]
\[<br />
ka_1, ka_2, \ldots, ka_{2n+1},<br />
\]

gdzie $ k $ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Przypuśćmy, że pewien ciąg (1) liczb całkowitych spełnia warunki zadania oraz $ a_1 \ne a_2 $. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że $ a_1 = 0 $. W przeciwnym bowiem razie do każdego wyrazu ciągu dodalibyśmy $ -a_1 $. Wśród ciągów (1) o wyrazach całkowitych spełniających warunki zadania, $ a_1 \ne a_2 $ $ a_1 = 0 $ wybierzmy taki, w którym liczba $ |a_2| $ ma minimalną wartość.

Po odrzuceniu wyrazu $ a_1 = 0 $ suma pozostałych wyrazów jest parzysta na mocy warunków zadania. Wobec tego suma wszystkich wyrazów ciągu (1) jest parzysta. Analogicznie, po odrzuceniu dowolnego wyrazu $ a_j $ suma pozostałych wyrazów jest parzysta. Zatem dowolny wyraz $ a_j $ ciągu (1) jest parzysty.

Wynika stąd, że wyrazy ciągu $ b_1, b_2, \ldots, b_{2n+1} $, gdzie $ b_i = \displaystyle \frac{1}{2} a_i $ dla $ i= 1,2,\ldots, 2n+1 $, są liczbami całkowitymi. Mamy $ |b_2| = \displaystyle \frac{1}{2} |a_2| < |a_2| $, ponieważ $ a_2 \ne 0 $. Przeczy to minimalności liczby $ |a_2| $.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że w każdym ciągu liczb całkowitych (1) spełniającym warunki zadania wszystkie wyrazy są równe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź