XXV OM - III - Zadanie 1

W czworościanie $ ABCD $ krawędź $ \overline{AB} $ jest prostopadła do krawędzi $ \overline{CD} $ i $ \measuredangle ACB = \measuredangle ADB $. Udowodnić, że płaszczyzna wyznaczona przez krawędź $ \overline{AB} $ i środek krawędzi $ \overline{CD} $ jest prostopadła do krawędzi $ \overline{CD} $.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw
Lemat. Jeżeli proste $ AB $ i $ PQ $ przecinają się pod kątem prostym w punkcie $ P $, to liczba punktów półprostej $ PQ^\to $, z których widać odcinek $ \overline{AB} $ pod kątem $ \alpha $, jest równa $ 0 $, $ 1 $ lub $ 2 $.

Dowód. Jak wiadomo, zbiór punktów zawartych w półpłaszczyźnie o krawędzi $ AB $ i zawierającej punkt $ Q $, z których widać odcinek $ AB $ pod kątem $ \alpha $, jest łukiem pewnego okręgu. Ten łuk ma z półprostą $ PQ^\to $ $ 0 $, $ 1 $ lub $ 2 $ punkty wspólne w zależności od położenia odcinka $ AB $ względem punktu $ P $ i od wielkości kąta $ \alpha $ (rys. 19).

Wniosek. Niech prosta $ AB $ będzie prostopadła do płaszczyzny $ \pi $. Zbiór punktów płaszczyzny $ \pi $, z których widać odcinek $ \overline{AB} $ pod kątem
$ \alpha(0 < \alpha < \pi) $, jest pusty, jest okręgiem lub sumą dwóch okręgów współśrodkowych.

Dowód. Niech $ P $ będzie punktem przecięcia prostej $ AB $ z płaszczyzną $ \pi $, a $ Q $ - dowolnym punktem płaszczyzny $ \pi $ różnym od $ P $. Na mocy lematu półprosta $ PQ^\to $ zawiera co najwyżej dwa punkty, z których widać odcinek $ \overline{AB} $ pod kątem $ \alpha $. Przy obrocie dokoła prostej $ AB $ punkty te utworzą co najwyżej dwa okręgi współśrodkowe i z każdego punktu tych okręgów widać odcinek $ \overline{AB} $ pod kątem $ \alpha $. Na mocy lematu z każdego punktu płaszczyzny $ \pi $ nie należącego do tych okręgów widać odcinek $ \overline{AB} $ pod kątem różnym od $ \alpha $.

Przechodzimy do rozwiązania zadania. Niech $ \pi $ będzie płaszczyzną prostopadłą do $ AB $ i zawierającą odcinek $ \overline{CD} $ i niech $ P $ będzie punktem przecięcia prostej $ AB $ z płaszczyzn $ \pi $. Na mocy warunków zadania z punktów $ C $ i $ D $ widać odcinek $ \overline{AB} $ pod tym samym kątem. Z wniosku z lematu wynika więc, że albo

1) punkty $ C $ i $ D $ należą do jednego okręgu o środku w punkcie $ P $, albo,

2) punkty $ C $ i $ D $ należą do różnych okręgów o środku w punkcie $ P $.

W pierwszym przypadku symetralna odcinka $ \overline{CD} $ zawiera punkt $ P $
i wobec tego płaszczyzna wyznaczona przez krawędź $ \overline{AB} $ i środek krawędzi $ \overline{CD} $ jest prostopadła do krawędzi $ \overline{CD} $. W drugim przypadku symetralna odcinka $ \overline{CD} $ nie zawiera punktu $ P $. Gdyby bowiem go zawierała, to punkt $ P $ byłby równo odległy od punktów $ C $ i $ D $. Punkty te należałyby więc do jednego okręgu o środku w punkcie $ P $, co nie ma miejsca. Wobec tego płaszczyzna wyznaczona przez krawędź $ \overline{AB} $ i środek krawędzi $ \overline{CD} $ nie zawiera symetralnej odcinka $ \overline{CD} $, a więc nie jest do niego prostopadła.

Teza zadania w drugim przypadku nie jest więc prawdziwa. Przypadek pierwszy ma miejsce na przykład wtedy, gdy punkt $ P $ należy do odcinka $ \overline{AB} $, a więc na przykład, gdy kąt $ \measuredangle ACB $ jest rozwarty.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź