XXV OM - III - Zadanie 2

Łososie płynąc w górę rzeki muszą pokonać dwa wodospady. Prawdopodobieństwo, że łosoś pokona pierwszy wodospad w danej próbie, wynosi $ p > 0 $, a prawdopodobieństwo pokonania drugiego wodospadu w danej próbie wynosi $ q > 0 $. Zakładamy, że kolejne próby forsowania wodospadów są niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, ze łosoś nie przebędzie pierwszego wodospadu w $ n $ próbach pod warunkiem, że w $ n $ próbach nie pokona obu wodospadów.

Rozwiązanie

Niech $ A_n $ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że łosoś nie pokona pierwszego wodospadu w $ n $ próbach, a $ B_n $ - zdarzeniem, że łosoś nie pokona obu wodospadów w $ n $ próbach. Ponieważ prawdopodobieństwo tego, że łosoś nie pokona pierwszego wodospadu w jednej próbie równe jest $ 1 - p $, a próby są niezależne, więc

\[<br />
(1) \qquad p(A_n) = (1-p)^n.<br />
\]

Zdarzenie $ B_n $ zajdzie wtedy, gdy albo łosoś nie pokona w $ n $ próbach pierwszego wodospadu, albo pokona w $ k $-tej próbie $ (1 \leq k \leq n) $ pierwszy wodospad i nie pokona w pozostałych $ n-k $ próbach drugiego wodospadu. Zatem

\[<br />
(2) \qquad p(B_n) = (1 -p)^n + \sum_{k=1}^n (1 -p)^{k-1} p(1 - q)^{n-k}.<br />
\]

Jeżeli $ p = q $, to wzór (2) przybiera postać

\[<br />
(3) \qquad p(B_n) = (1 -p)^n + \sum_{k=1}^n (1 -p)^{n-1} p = (1-p)^n + np(l -p)^{n-1}.<br />
\]

Jeżeli $ q= 1 $, to

\[<br />
(4) \qquad p(B_n) = (1 - p)^n + (1 - p)^{n-1}p = (1 - p)^{n-1}.<br />
\]

W tym przypadku bowiem łosoś pokonałby drugi wodospad już w pierwszej próbie. Zatem zdarzenie $ B_n $ zajdzie wtedy, gdy łosoś nie pokona pierwszego wodospadu w $ n $ próbach lub pokona go dopiero w $ n $-tej próbie.

Wzór (4) wynika zresztą ze wzoru (2), jeżeli przyjmiemy, że $ 0^0 = 1 $.

Wreszcie, jeżeli $ p \ne q $ i $ q < 1 $, to korzystając ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego przekształcamy (2) jak następuje:

\[<br />
\begin{split}<br />
p(B_n) & = (1-p)^n + p(1-q)^{n-1}<br />
\frac{1- \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n}{1-\frac{1-p}{1-q}}<br />
= (1-p)^n + \\<br />
& + (1-q)^{n}  \frac{p}{p-q}<br />
\left[ 1- \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n \right] =<br />
(1-p)^n + \frac{p}{p-q} ((1-q)^n - (1-p)^n)=\\<br />
& = \frac{p(1-q)^n q(1-p)^n}{p-q}.<br />
\end{split}<br />
\]

Mamy więc w tym przypadku

\[<br />
(5) \qquad p (B_n) = \frac{p(1-q)^n - q(1-p)^n}{p-q}.<br />
\]

Jeżeli zajdzie zdarzenie $ A_n $, to tym bardziej zajdzie zdarzenie $ B_n $. Wobec tego $ A_n \cap B_n = A_n $. Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe otrzymujemy więc

\[<br />
(6) \qquad P(A_n \mid B_n) = \frac{A_n \cap B_n)}{p(B_n)} = \frac{P(A_n)}{P(B_n)}.<br />
\]

Jeżeli $ n = 1 $, to z warunków zadania wynika, że $ p(A_n) = 1 - p $ oraz $ p(B_n) = 1 $. Zatem z (6) otrzymujemy, że $ p(A_n \mid B_n)= 1 -p $. W dalszym ciągu będziemy więc zakładali, że $ n \geq 2 $.

Zauważmy, że jeżeli $ p \ne q $, to $ p(B_n) \ne 0 $. Istotnie, gdyby $ p(B_n) =<br />
 0 $, to ze wzoru (5) otrzymalibyśmy $ p(1 - q)^n = q(1 -p)^n $. Stąd

\[<br />
(7) \qquad \frac{p}{q} = \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n.<br />
\]

Jeżeli na przykład $ p < q $, to $ 1 - p > 1 - q $ i równość (7) nie może mieć miejsca. Podobnie dowodzimy, że (7) nie zachodzi, gdy $ p> q $.

Jeżeli $ p = q $ i p$ (B_n) = 0 $, to ze wzoru (3) wynika, ze $ p = 1 $. Zatem w przypadku, gdy $ p = q = 1 $ (i tylko w tym przypadku) prawdopodobieństwo warunkowe $ p(A_n \mid B_n) $ nie istnieje. Obliczamy je w pozostałych przypadkach.

Jeżeli $ p = q < 1 $, to z (1), (3) i (6) otrzymujemy

\[<br />
(8) \qquad p(A_n \mid B_n) = \frac{1 - p}{1-p+np} = \frac{1-p}{1+(n-1)p}.<br />
\]

Jeżeli $ p < q = 1 $, to z (1), (4-) i (6) otrzymujemy

\[<br />
(9) \qquad p(A_n \mid B_n) = 1-p.<br />
\]

Jeżeli $ p \ne q < 1 $, to z (1), (5) i (6) otrzymujemy

\[<br />
(10) \qquad p(A_n \mid B_n) =\frac{(1-p)^n(p-q)}{p(1-q)^n - q(1-p)^n}=<br />
\frac{(p-q) \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n}{p-g} \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n.<br />
\]

Uwaga.

Zbadamy w każdym z przypadków liczbę $ g= \lim_{n \to \infty} p(A_n \mid B_n) $.

Jeżeli $ p = q < 1 $, to ze wzoru (8) wynika, że $ g = 0 $.

Jeżeli $ p < q = 1 $, to ze wzoru (9) wynika, że $ g = 1 - p = 1 -\displaystyle \frac{p}{1} $.

Jeżeli $ p < q < 1 $, to $ 1 - p > 1 - q $ i $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n = \infty $. Zatem z (10) wynika, że $ \displaystyle g = \frac{p-q}{-q} = 1- \frac{p}{q} $.

Jeżeli $ q < p \leq 1 $, to $ 1 - p < l - q $ i $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n = 0 $. Wobec tego z (10) otrzymujemy, że $ g = 0 $.

Zawsze więc $ g = \max \left(0, 1 - \frac{p}{q} \right) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź