XXV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ i ciągu liczb rzeczywistych $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ istnieje liczba naturalna $ k \leq n $ taka, że

\[<br />
\left| \sum_{i=1}^k a_i - \sum_{i=k+1}^n a_i \right| \leq \max_{1\leq i \leq n} |a_i|<br />
\]

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw
Lemat. Jeżeli $ \varepsilon \geq 0 $ i liczby rzeczywiste $ s_1, s_2, \ldots, s_n $ spełniają warunki

\[<br />
(1) \qquad |s_1| \leq \varepsilon, | s_{i+1} - s_i | \leq \varepsilon \ \textrm{dla}\ i = 1, 2, \ldots, n - 1,\ \textrm{to istnieje taka liczba naturalna}\ k \leq n,\ \textrm{że}<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad \left| s_k - \frac{1}{2}s_n \right| \leq \frac{1}{2}\varepsilon.<br />
\]

Dowód. Jeżeli $ \varepsilon = 0 $, to z (1) wynika, że $ s_1 = s_2 = \ldots = s_n = 0 $, i teza lematu oczywiście zachodzi. Załóżmy więc, że $ \varepsilon > 0 $.

Niech $ a $ będzie najmniejszą, a $ b $ - największą z liczb $ s_1, s_2, \ldots, s_n $. Liczby $ s_1, s_2, \ldots, s_n $ dzielą więc przedział $ \langle a;\ b \rangle $ na odcinki o długości nie przekraczającej $ \varepsilon $. Każda liczba tego przedziału jest więc odległa od jednej z liczb $ s_1, s_2, \ldots, s_n $ nie więcej niż o $ \displaystyle \frac{1}{2} \varepsilon $. W szczególności, jeżeli $ \displaystyle \frac{1}{2} s_n \in \langle a;\ b \rangle $, to spełniony jest warunek (2). Załóżmy więc, że $ \displaystyle \frac{1}{2} s_n \ne \langle a;\ b \rangle $.

Z określenia liczb $ a $ i $ b $ wynika, że $ s_n \in \langle a ;\ b \rangle $. Jeżeli $ 0 \in \langle a ;\ b \rangle $, to otrzymujemy, że $ \displaystyle \frac{1}{2} s_n \in \langle a ;\ b \rangle $, co przeczy przyjętemu założeniu.

Niech więc $ 0 \not \in \langle a ;\ b \rangle $. Wtedy liczby $ s_1, s_2,<br />
\ldots, s_n $ mają jednakowy znak. Ponieważ zmiana znaku wszystkich tych liczb nie zmienia warunków lematu, więc możemy założyć, że liczby $ s_1, s_2, \ldots, s_n $ są dodatnie. Mamy więc

\[<br />
(3) \qquad 0 < a \leq s_n \leq b<br />
\]

oraz

\[<br />
(4) \qquad 0 < a \leq s_1 \leq \varepsilon.<br />
\]

Ponieważ $ \displaystyle \frac{1}{2} s_n \not \in \langle a ;\ b \rangle $, więc z (3) wynika, że $ \displaystyle 0 < \frac{1}{2}a \leq \frac{1}{2} s_n < a $. Zatem na mocy (4) mamy $ \displaystyle | a - \frac{1}{2} s_n | < \frac{1}{2} a \leq \frac{1}{2} \varepsilon $. Liczba $ a $ jest jedną z liczb $ s_1, s_2, \ldots, s_n $. Otrzymaliśmy więc warunek (2).

Z lematu wynika natychmiast teza zadania. Wystarczy mianowicie przyjąć $ \varepsilon = \max_{1 \leq i \leq n} | a_i | $, $ s_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_i $ dla $ i = 1, 2, \ldots, n $. Wtedy $ |s_1| = |a_1| \leq \varepsilon $ i $ |s_{i+1} - s_i| = | a_{i+1} | \leq \varepsilon $ dla $ i = 1, 2, \ldots, n - 1 $. Spełnione są więc założenia lematu. Z lematu wynika, że dla pewnej liczby naturalnej $ k \leq n $ zachodzi $ |2s_k -s_n | \leq \varepsilon $, czyli

\[<br />
\left| \sum_{i=1}^k a_i - \sum_{i=k+1}^n a_i \right| \leq<br />
\max_{1 \leq i \leq n} |a_i|.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź