XXV OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $ n $, $ r $ spełniają nierówność $ r + 3 \leq n $,to liczby $ \binom{n}{r} $, $ \binom{n}{r+1} $, $ \binom{n}{r+2} $, $ \binom{n}{r+3} $ nie są kolejnymi wyrazami żadnego ciągu arytmetycznego.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw dwa lematy.

Lemat 1. Dla ustalonej liczby naturalnej $ n $ istnieją co najwyżej dwie takie liczby naturalne $ k \leq n - 2 $, że liczby $ \binom{n}{k} $, $ \binom{n}{k+1} $, $ \binom{n}{k+2} $ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Dowód. Jeżeli liczby $ \displaystyle \binom{n}{k}, \binom{n}{k+1}, \binom{n}{k+2} $ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to

\[<br />
\binom{n}{k} + \binom{n}{k+2} = 2\binom{n}{k+1}.<br />
\]

Mnożąc tę równość stronami przez $ \displaystyle \frac{(k+2)!(n-k)!}{n!} $ otrzymamy

\[<br />
(k + 2) (k +1) + (n - k) (n - k - 1) = 2 (k + 2) (n - k).<br />
\]

Jest to równanie kwadratowe ze względu na $ k $. Ma więc ono co najwyżej dwa rozwiązania.

Lemat 2. Dla ustalonej liczby naturalnej $ n $ istnieje co najwyżej jedna taka liczba naturalna $ k \leq n - 1 $, że $ \displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{k+1} $.

Dowód. Mnożąc powyższą równość obustronnie przez $ \displaystyle \frac{(k+1)!(n-k)!}{n!} $ otrzymujemy $ k + 1 = n - k $. Jest to równanie stopnia pierwszego ze względu na $ k $. Ma więc ono co najwyżej jedno rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych mniejszych od $ n $.

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy, że $ a_j = \displaystyle \binom{n}{j} $ dla $ j = 1, 2, \ldots, n $. Przypuśćmy, ze
liczby

\[<br />
(1) \qquad a_r, a_{r+1}, a_{r+2}, a_{r+3}<br />
\]

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Na mocy wzoru $ \displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $, czyli $ a_k = a_{n-k} $, również liczby $ a_{n-r-3}, a_{n-r-2}, a_{n-r-1}, a_{n-r} $ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy więc następujące ciągi arytmetyczne trójwyrazowe

\[<br />
a_{r}, a_{r+1}, a_{r + 2},<br />
\]
\[<br />
a_{r+1}, a_{r+2}, a_{r + 3},<br />
\]
\[<br />
a_{n-r-3}, a_{n-r-2}, a_{n-r-1}<br />
\]
\[<br />
a_{n-r-2}, a_{n-r-1}, a_{n-r},<br />
\]

Z lematu 1 wynika, że zbiór $ \{r, r + 1, n - r - 3, n - r - 2\} $ zawiera co najwyżej dwie różne liczby. Ponieważ $ r $ i $ r + 1 $ oraz $ n - r - 3 $ i $ n - r - 2 $ są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc $ r =n - r - 3 $ i $ r + 1 = n - r - 2 $.

Zatem $ a_{r+1} = a_{n-r-2} = a_{r+2} $ czyli ciąg arytmetyczny (1) jest stały. Z lematu 2 wynika, że jest to niemożliwe.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że liczby (1) nie są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Uwaga. Można dowieść, że jeżeli dla pewnych liczb naturalnych $ n $ i $ r $, gdzie $ r \leq n - 2 $, liczby $ \displaystyle \binom{n}{r}, \binom{n}{r+1}, \binom{n}{r+2} $ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to istnieje taka liczba naturalna $ m \geq 3 $, że $ n = m^2 - 2 $ i $ r = \displaystyle \frac{1}{2}  (m^2 - m) - 2 $ lub $ r = \displaystyle \frac{1}{2} (m^2 + m) - 2 $.

Na odwrót, jeżeli liczby $ n $ i $ r $ są określone powyższymi wzorami, to liczby $ \displaystyle \binom{n}{k}, \binom{n}{k+1}, \binom{n}{k+2} $ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Na przykład biorąc $ m = 3 $ otrzymujemy, że liczby $ \displaystyle \binom{7}{1}, \binom{7}{2}, \binom{7}{3} $ tworzą ciąg arytmetyczny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź