- LX OM
- LIX OM
- LVIII OM
- LVII OM
- LVI OM
- LV OM
- LIV OM
- LIII OM
- LII OM
- LI OM
- L OM
- XLIX OM
- XLVIII OM
- XLVIII OM - I etap
- XLVIII OM - I - Zadanie 1
- XLVIII OM - I - Zadanie 2
- XLVIII OM - I - Zadanie 3
- XLVIII OM - I - Zadanie 4
- XLVIII OM - I - Zadanie 5
- XLVIII OM - I - Zadanie 6
- XLVIII OM - I - Zadanie 7
- XLVIII OM - I - Zadanie 8
- XLVIII OM - I - Zadanie 9
- XLVIII OM - I - Zadanie 10
- XLVIII OM - I - Zadanie 11
- XLVIII OM - I - Zadanie 12
- XLVIII OM - II etap
- XLVIII OM - III etap
- XLVIII OM - I etap
- XLVII OM
- XLVI OM
- XLV OM
- XLIV OM
- XLIII OM
- XLII OM
- XLI OM
- XL OM
- XXXIX OM
- XXXVIII OM
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVIII OM - I - Zadanie 1
- XXXVIII OM - I - Zadanie 2
- XXXVIII OM - I - Zadanie 3
- XXXVIII OM - I - Zadanie 4
- XXXVIII OM - I - Zadanie 5
- XXXVIII OM - I - Zadanie 6
- XXXVIII OM - I - Zadanie 7
- XXXVIII OM - I - Zadanie 8
- XXXVIII OM - I - Zadanie 9
- XXXVIII OM - I - Zadanie 10
- XXXVIII OM - I - Zadanie 11
- XXXVIII OM - I - Zadanie 12
- XXXVIII OM - II etap
- XXXVIII OM - III etap
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVII OM
- XXXVII OM - I etap
- XXXVII OM - I - Zadanie 1
- XXXVII OM - I - Zadanie 2
- XXXVII OM - I - Zadanie 3
- XXXVII OM - I - Zadanie 4
- XXXVII OM - I - Zadanie 5
- XXXVII OM - I - Zadanie 6
- XXXVII OM - I - Zadanie 7
- XXXVII OM - I - Zadanie 8
- XXXVII OM - I - Zadanie 9
- XXXVII OM - I - Zadanie 10
- XXXVII OM - I - Zadanie 11
- XXXVII OM - I - Zadanie 12
- XXXVII OM - II etap
- XXXVII OM - III etap
- XXXVII OM - I etap
- XXXVI OM
- XXXV OM
- XXXIV OM
- XXXIII OM
- XXXIII OM - I etap
- XXXIII OM - I - Zadanie 1
- XXXIII OM - I - Zadanie 2
- XXXIII OM - I - Zadanie 3
- XXXIII OM - I - Zadanie 4
- XXXIII OM - I - Zadanie 5
- XXXIII OM - I - Zadanie 6
- XXXIII OM - I - Zadanie 7
- XXXIII OM - I - Zadanie 8
- XXXIII OM - I - Zadanie 9
- XXXIII OM - I - Zadanie 10
- XXXIII OM - I - Zadanie 11
- XXXIII OM - I - Zadanie 12
- XXXIII OM - II etap
- XXXIII OM - III etap
- XXXIII OM - I etap
- XXXII OM
- XXXI OM
- XXX OM
- XXIX OM
- XXVIII OM
- XXVII OM
- XXVI OM
- XXV OM
- XXIV OM
- XXIII OM
- XXII OM
- XXI OM
- XX OM
- XIX OM
- XVIII OM
- XVII OM
- XVI OM
- XV OM
- XIV OM
- XIII OM
- XII OM
- XI OM
- X OM
- IX OM
- VIII OM
- VII OM
- V OM
- VI OM
- IV OM
- III OM
- II OM
- I OM
- Skład komitetów Olimpiady
- Zawody stopnia I (przygotowawcze)
- Zadania z pierwszej olimpiady matematycznej
- I OM - B
- I OM - B - Zadanie 1
- I OM - B - Zadanie 2
- I OM - B - Zadanie 3
- I OM - B - Zadanie 4
- I OM - B - Zadanie 5
- I OM - B - Zadanie 6
- I OM - B - Zadanie 7
- I OM - B - Zadanie 8
- I OM - B - Zadanie 9
- I OM - B - Zadanie 10
- I OM - B - Zadanie 11
- I OM - B - Zadanie 12
- I OM - B - Zadanie 13
- I OM - B - Zadanie 14
- I OM - B - Zadanie 15
- I OM - B - Zadanie 16
- I OM - B - Zadanie 17
- I OM - B - Zadanie 18
- I OM - B - Zadanie 19
- I OM - B - Zadanie 20
- I OM - I etap
- I OM - II etap
- I OM - III etap
- I OM - B
XXV OM - III - Zadanie 6
Podzielono -kąt wypukły przekątnymi na trójkąty w ten sposób, że
1° z każdego wierzchołka wychodzi parzysta liczba przekątnych,
2° żadne dwie przekątne nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
Udowodnić, że jest podzielne przez 3.
Rozwiązanie
Udowodnimy najpierw
Lemat. Jeżeli jest figurą na płaszczyźnie i za pomocą
prostych podzielono ją na części, to można te części tak pomalować dwoma kolorami, by każde dwie części mające odcinek wspólny miały różne kolory.
Dowód. Zastosujemy indukcję ze względu na . W przypadku
teza jest oczywista, ponieważ prosta dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. Części figury
zawarte w jednej półpłaszczyźnie malujemy jednym kolorem, a części zawarte w drugiej - drugim.
Niech będzie liczbą naturalną. Zakładamy, że w przypadku
prostych można otrzymane części figury
tak pomalować dwoma kolorami, by był spełniony warunek lematu. Prowadząc
-szą prostą dzielimy płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. Części figury
zawarte w jednej z tych półpłaszczyzn zostawiamy tak pomalowane, jak dotychczas, a części zawarte w drugiej - malujemy odwrotnie niż dotychczas (zmieniamy kolor każdej części). Wtedy oczywiście będzie spełniony warunek lematu.
Przystępujemy do rozwiązania zadania. Ponieważ dany -kąt został podzielony za pomocą pewnej liczby prostych (przekątnych), więc części otrzymane z podziału (trójkąty) można na mocy lematu tak pomalować dwoma kolorami, by trójkąty mające wspólny bok różniły się kolorem.
Ponieważ liczba rozpatrywanych przekątnych wychodzących z dowolnego wierzchołka danego
-kąta jest parzysta, więc liczba trójkątów, dla których punkt
jest wierzchołkiem, jest nieparzysta. Wobec tego, że trójkąty te mają kolejno różne kolory, więc skrajne trójkąty mają ten sam kolor. Wynika stąd, że trójkąty, których jednym z boków jest bok danego wielokąta, są wszystkie pomalowane na ten sam kolor.
Zatem suma liczby boków -kąta i liczby wszystkich rozważanych przekątnych jest równa liczbie boków trójkątów pomalowanych tym kolorem. Liczba ta jest więc podzielna przez
. Z drugiej strony liczba rozważanych przekątnych jest równa liczbie boków trójkątów pomalowanych drugim kolorem. Liczba ta jest więc też podzielna przez
. Zatem różnica tych liczb, czyli liczba
, tez jest podzielna przez
.
Uwaga. Jeżeli w treści zadania trójkąty zastąpić przez -kąty, gdzie
, to zastępując w powyższym rozwiązaniu trójkąty przez
-kąty otrzymamy, że liczba
jest podzielna przez
.
Komentarze
Dodaj nową odpowiedź