LVIII OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ są liczbami całkowitymi dodatnimi oraz $ \ ad=b^2+bc+c^2\;,\; $ to liczba

\[<br />
a^2+b^2+c^2+d^2$$<br />
\]

jest złożona.

Rozwiązanie

Z warunków zadania otrzymujemy równość $ 2ad=b^2+c^2+(b+c)^2 $, a więc

\[<br />
(a+d)^2-(b+c)^2=(a+d)^2-2ad+b^2+c^2=a^2+b^2+c^2+d^2.<br />
\]

Z drugiej strony, z rozkładu różnicy kwadratów na czynniki mamy

\[<br />
(a+d)^2-(b+c)^2=(a+d+b+c)(a+d-b-c).<br />
\]

Łącząc powyższe zależności uzyskujemy

\[<br />
(1) \qquad a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c+d)(a+d-b-c).<br />
\]

Czynnik $ a+b+c+d $ jest liczbą całkowitą większą od $ 1 $. Gdyby był on równy $ a^2+b^2+c^2+d^2 $, to na mocy nierówności $ k^2>k $ (prawdziwej dla $ k>1 $) otrzymalibyśmy równości $ a=b=c=d=1 $, jednakże liczby te nie spełniają warunków zadania. Zatem $ a+b+c+d $ jest właściwym dzielnikiem liczby $ a^2+b^2+c^2+d^2 $, skąd wynika teza zadania.

Uwaga:Jak widać, kluczem do rozwiązania zadania jest równość (1). Jednakże wielu uczestników Olimpiady uznało, że z chwilą wyprowadzenia tej równości można uznać rozwiązanie zadania za zakończone. Tak nie jest; należy bowiem pamiętać, że przedstawienie liczby całkowitej dodatniej w postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych nie dowodzi jeszcze, że rozważana liczba jest złożona. Trzeba ponadto sprawdzić, że żaden z czynników nie jest równy $ 1 $ ani $ -1 $.

Czynnik $ a+b+c+d $ w iloczynie po prawej stronie zależności (1) jest liczbą całkowitą większą od $ 1 $, więc wystarczy wykluczyć równość $ a-b-c+d=1 $.

Znaczna część zawodników wykazywała, że $ a-b-c+d\ne 1 $, w następujący bardziej skomplikowany sposób: Przypuśćmy, że $ a-b-c+d=1 $; wiemy z założeń zadania, że $ ad=b^2+bc+c^2 $, prawdziwa jest zatem równość

\[<br />
ad+bc=(b+c)^2=(a+d-1)^2=a^2+d^2+1-2a-2d+2ad,<br />
\]

z której otrzymujemy

\[<br />
a^2+d^2+1+ad-bc-2a-2d=0,<br />
\]

czyli

\[<br />
(a-1)^2+(d-1)^2+ad-bc-1=(a-1)^2+(d-1)^2+b^2+c^2-1=0.<br />
\]

Ostatnia równość jest niemożliwa, gdyż $ (a-1)^2\ge 0 $, $ (d-1)^2\ge 0 $, $ b^2\ge 1 $, $ c^2\ge 1 $. Sprzeczność ta dowodzi, że $ a-b-c+d\ne 1 $ i w konsekwencji rozkład (1) jest rozkładem na dzielniki właściwe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź