XXIV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że dla każdego trójkąta istnieje prosta dzieląca ten trójkąt na dwie figury o równych obwodach i równych polach.

Rozwiązanie

W trójkącie równoramiennym prosta zawierająca dwusieczną kąta utworzonego przez jego ramiona spełnia warunki zadania. Niech więc długości boków trójkąta $ ABC $ będą różne. Niech np. $ a < b < c $, gdzie $ a = BC $, $ b = AC $, $ c = AB $ (rys. 6). Oznaczmy $ p = \displaystyle \frac{1}{2} (a + b + c) $.

Jeżeli $ p - a \leq x \leq c $, to $ p - c \leq p - x \leq a $. Zatem dla każdego $ x \in \langle p-a;\ c \rangle $ istnieją takie punkty $ P \in \overline{AB} $ i $ Q \in \overline{BC} $, że $ BP = x $ i $ BQ= p - x $. Wtedy prosta $ PQ $ dzieli obwód trójkąta $ ABC $ na dwie równe części. Wykażemy, że istnieje takie $ x \in \langle p-a;\ c\rangle $, że pole $ S_1 $ trójkąta $ BPQ $ jest równe połowie pola $ S $ trójkąta $ ABC $. Mamy $ S - 2S_1 = \displaystyle \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin \measuredangle B - BP \cdot BQ \cdot \sin \measuredangle B = \frac{1}{2} \sin \measuredangle B (ac - 2x (p - x)) $. Niech $ f(x) = ac - 2x (p - x) $. Obliczamy, że $ f(p - a) = a (a - b) < 0 $ oraz $ f(c) = c (c - b) > 0 $. Ponieważ wielomian $ f $ przybiera na końcach przedziału $ \langle p- a;\ c \rangle $ wartości przeciwnych znaków, więc ma on pierwiastek $ x_0 $ w tym przedziale. Zatem dla $ x = x_0 $ mamy $ S = 2S_1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź