XXIV OM - I - Zadanie 3

Niech $ w(x) $ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeżeli liczba naturalna $ d $ jest dzielnikiem każdej z liczb $ a_n = 3^n + w(n) $, gdzie $ n = 0, 1, 2, \ldots $, to $ d $ jest potęgą liczby 2 o wykładniku całkowitym.

Rozwiązanie

Niech liczba pierwsza $ p $ będzie dzielnikiem każdej z liczb $ a_n $, gdzie $ n = 0, 1,2, \ldots  $. Wystarczy udowodnić, że $ p = 2 $.

W szczególności mamy $ p \mid a_0 $ i $ p \mid a_p $. Stąd $ p \mid a_p - a_0 =<br />
(3^p - 1) + (w(p) - w(0)) $. Niech $ w(x) = c_0 + c_1x + \ldots + c_rx^r $, gdzie liczby $ c_0, c_1, \ldots, c_r $ są całkowite. Liczba $ w(p) - w(0) = c_1p + c_2p^2 + \ldots + c_rp^r $ jest oczywiście podzielna przez $ p $. Zatem $ p \mid 3^p - 1 $. Stąd $ p \ne 3 $. Z małego twierdzenia Fermata wynika więc, że $ p \mid 3^{p-1} - 1 $. Wobec tego $ p \mid (3^p - 1) - (3^{p-1} - 1) = 2 \cdot 3^{p-1} $. Ponieważ $ p \ne 3 $, więc wynika stąd, że $ p  = 2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź