XXIV OM - I - Zadanie 4

W czworościanie $ ABCD $ na, prostej łączącej środki krawędzie $ \overline{AB} $ i $ \overline{CD} $ obrano dowolny punkt $ P $ nie leżący na tych krawędziach. Udowodnić, że proste $ PA $, $ PB $, $ PC $, $ PD $ przecinają płaszczyznę równoległą do krawędzi $ AB $ i $ CD $ w punktach będących wierzchołkami równoległoboku.

Rozwiązanie

Niech $ \pi $ będzie pewną płaszczyzną równoległą do krawędzi $ \overline{AB} $ i $ \overline{CD} $. Jeżeli dla pewnego punktu $ X $ prosta $ PX $ przecina płaszczyznę $ \pi $, to przez $ X' $ oznaczmy punkt przecięcia. Niech $ R $ będzie środkiem odcinka $ \overline{AB} $, a $ S $ - środkiem odcinka $ \overline{CD} $. Wtedy $ R' = S' $, ponieważ proste $ PR $ i $ PS $ są równe.

Z założenia odległości punktów $ A $ i $ P $ od płaszczyzny $ \pi $ są różne. Zatem prosta $ PA $ przecina płaszczyznę $ \pi $. Analogicznie stwierdzamy,że proste $ PB $, $ PC $, $ PD $ przecinają płaszczyznę $ \pi $.

Jeżeli $ P \in \pi $, to $ A'= B' = C' = D'= P $. Niech więc $ P \not \in \pi $. Wtedy proste $ AB $ i $ A'B' $ są zawarte w płaszczyźnie $ ABP $. Jeżeli $ AB \in \pi $, to oczywiście $ AB = A'B' $. Wtedy $ R = R' $. Jeżeli zaś $ AB \in \pi $, to prosta $ AB $ nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną $ \pi $. W szczególności proste $ AB $ i $ A'B' $ nie mają punktów wspólnych. Zatem $ AB \parallel A'B' $. Wynika stąd, że $ \measuredangle BAP = \measuredangle B'A'P $, $ \measuredangle ABP =  \measuredangle A'B'P $ i $ \measuredangle ARP = \measuredangle A'R'P $ (rys. 7). Wobec tego trójkąty $ ARP $ i $ A'R'P $ oraz $ BRP $ i $ B'R'P $ są podobne.

Stąd

\[<br />
\frac{AR}{A'R'} = \frac{RP}{R'P} = \frac{BR}{B'R'}.<br />
\]

Ponieważ $ AR = BR $, więc wynika stąd, że $ A'R' = B'R' $, czyli $ R' $ jest środkiem odcinka $ \overline{A'B'} $.

Analogicznie dowodzimy, że punkt $ S' $ jest środkiem odcinka $ \overline{CD} $.

Jak wiemy, $ AB  \nparallel CD $ oraz $ AB \parallel A'B' $ i $ CD \parallel CD' $. Wobec tego $ A'B' \nparallel C'D' $. Zatem odcinki $ \overline{A'B'} $ i $ \overline{C'D'} $ nie są równoległe i przecinają się w punkcie $ R' = S' $, który jest środkiem każdego z nich. Są więc one przekątnymi równoległoboku.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź