XXIV OM - I - Zadanie 5

Liczby rzeczywiste $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ spełniają równanie

\[<br />
x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0,<br />
\]

niech $ m $ będzie najmniejszą, zaś $ M $ - największą z tych liczb. Dowieść, że $ x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leq -nmM $ i określić, kiedy zachodzi równość.

Rozwiązanie

Ponieważ $ m \leq x_1 \leq M $ dla $ i = 1, 2, \ldots, n $, więc

\[<br />
(1) \qquad (M - x_i)(x_i-m) \geq 0,<br />
\]

czyli $ - x_i^2 + (m + M) x_i - mM \geq 0 $, gdzie $ i = 1, 2,  \ldots, n $.

Dodając te nierówności stronami wobec $ x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0 $ otrzymujemy

\[<br />
- \sum_{i=1}^n x_i^2 - nmM \geq 0, \quad \textrm{czyli} \quad \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq - nmM.<br />
\]

Będzie tu zachodziła równość wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej z nierówności (1) będzie zachodziła równość, tzn. gdy każda z liczb $ x_i $ będzie równa $ m $ lub $ M $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź