XXIV OM - I - Zadanie 6

Dowieść następującego twierdzenia: Cztery wysokości czworościanu $ ABCD $ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy $ AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 = CA^2 + BD^2 $.

Rozwiązanie

Dla dowolnego czworościanu $ ABCD $ niech $ a = \overrightarrow{AB} $, $ b = \overrightarrow{AC} $, $ c = \overrightarrow{AD} $. Ponieważ $ \overrightarrow{DC} = b - c $, $ \overrightarrow{BD} = c - a $, $ \overrightarrow{CB} = a - b $, więc równości dane w zadaniu przybierają postać $ a^2 + (b - c)^2 = b^2 + (c - a)^2 = c^2 + (a - b)^2 $, czyli

\[<br />
(1) \qquad bc = ca = ab.<br />
\]

Dla dowolnego punktu $ P $ niech $ m = \overrightarrow{AP} $. Punkt $ P $ należy do wysokości czworościanu $ ABCD $ poprowadzonej z punktu $ A $ wtedy i tylko wtedy, gdy wektor $ m $ jest prostopadły do ściany $ BCD $, a więc gdy jest prostopadły do dwóch krawędzi zawartych w tej ścianie, np. do $ \overline{CB} $ i $ \overline{DC} $. Zatem punkt $ P $ należy do wysokości czworościanu poprowadzonej z wierzchołka $ A $ wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
(2) \qquad m(a-b) = 0\ \textrm{i} \ m(b-c) = 0.<br />
\]

Analogicznie stwierdzamy, że punkt $ P $ należy do pozostałych wysokości czworościanu wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
(a - m)b = 0\ \textrm{i} \ (a - m)c = 0,<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad (b - m)c = 0\ \textrm{i} \ (b - m)a = 0,<br />
\]
\[<br />
(c - m)a = 0\ \textrm{i} \ (c - m)b = 0.<br />
\]

Warunki (2) i (3) są równoważne następującemu

\[<br />
(4) \qquad ma = mb = mc = ab = bc = ca.<br />
\]

Oczywiście z (4) wynika (1). Udowpdnimy, że na odwrót, jeżeli spełnione są równości (1), to istnieje wektor $ m $ spełniający (4).

Ogólnie, jeżeli wektory $ a $, $ b $, $ c $ nie należą do jednej płaszczyzny i $ \alpha $ jest dowolną liczbą, to istnieje taki wektor $ m $, że

\[<br />
(5) \qquad ma = mb = mc = \alpha.<br />
\]

Obierając bowiem odpowiednio układ współrzędnych można przyjąć, że $ a =<br />
[a_1, 0, 0] $, $ b = [b_1, b_2, 0] $, $ c = [c_1, c_2, c_3] $, gdzie $ a_1b_2c_3 \ne 0 $, oraz $ m = [x, y, z] $. Układ (5) przybiera teraz postać

\[<br />
a_1 x = \alpha,<br />
\]
\[<br />
b_1x + b_2y = \alpha,<br />
\]
\[<br />
c_1x + c_2y + c_3z = \alpha.<br />
\]

Ten ostatni układ ma oczywiście rozwiązanie.

Uwaga. Zadanie to było zadaniem 14(2) w XII Olimpiadzie Matematycznej.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź