XXIV OM - I - Zadanie 7

Udowodnić, że wśród pięciu odcinków leżących na jednej prostej są trzy odcinki mające punkt wspólny lub trzy odcinki parami rozłączne.

Rozwiązanie

Niech dane będą odcinki otwarte $ I_k = (a_k; b_k) $, gdzie $ k = 1, 2, 3, 4, 5 $. W przypadku odcinków domkniętych, domknięto-otwartych itd. rozumowanie przebiega podobnie.

Bez zmniejszenia ogólności można założyć, że $ a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5 $. Przypuśćmy, że nie istnieje punkt należący do żadnych trzech odcinków. Gdyby $ b_1 > a_3 $ i $ b_2 > a_3 $, to odcinki $ I_1, I_2, I_3 $ miałyby punkt wspólny. Zatem $ b_1 \leq a_3 $ lub $ b_2 \leq a_3 $. Niech $ r $ będzie tą z liczb, $ 1 $, $ 2 $, dla której zachodzi $ b_r \leq a_3 $.

Gdyby $ b_3 > a_5 $ i $ b_4 > a_5 $, to odcinki $ I_3, I_4, I_5 $ miałyby punkt wspólny. Zatem $ b_3 \leq a_5 $ lub $ b_4 \leq a_5 $. Niech $ s $ będzie tą z liczb $ 3 $, $ 4 $, dla której zachodzi $ b_s \leq a_5 $.

Mamy więc $ a_r < b_r \leq a_3 \leq a_s < b_s \leq a_5 < b_5 $. Wynika stąd, że odcinki $ I_r, I_s, I_5 $ są parami rozłączne.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź