LVIII OM - II - Zadanie 5

Czworokąt wypukły $ ABCD $, w którym $ AB\ne CD $, jest wpisany\break w okrąg. Czworokąty $ AKDL $ i $ CMBN $ są rombami o bokach długości $ a $. Dowieść, że punkty $ K $, $ L $, $ M $, $ N $ leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ cięciwy $ AB $ i $ CD $ są różnej długości, więc proste $ AD $ i $ BC $ nie są równoległe. Oznaczmy punkt ich przecięcia przez $ P $ (rys. 10). Wykażemy, że punkty $ K $, $ L $, $ M $ i $ N $ leżą na okręgu o środku $ P $.

Prosta $ AD $ jest symetralną odcinka $ KL $, skąd dostajemy $ PK=PL $. Analogicznie $ PM=PN $. Wystarczy zatem dowieść, że $ PK=PN $.

Oznaczmy przez $ Q $ punkt przecięcia przekątnych rombu $ AKDL $. Wówczas na mocy twierdzenia Pitogarasa otrzymujemy

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{split}<br />
AP\cdot DP&=(PQ+AQ)(PQ-AQ)=PQ^2-AQ^2= \\<br />
&=PK^2-KQ^2-AQ^2=PK^2-AK^2\,.<br />
\end{split}<br />
\]

om58_2r_img_10.jpg

Analogicznie dowodzimy, że

\[<br />
(2) \qquad BP\cdot CP=PN^2-BN^2\,.<br />
\]

Punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą na jednym okręgu, więc spełniona jest równość

\[<br />
(3) \qquad AP\cdot DP=BP\cdot CP\,.<br />
\]

Łącząc zależności (1), (2) i (3) dochodzimy do wniosku, że

\[<br />
PK^2-AK^2=PN^2-BN^2\,;<br />
\]

skoro zaś $ AK=BN=a $, uzyskujemy stąd równość $ PK=PN $, która kończy rozwiązanie zadania.

Sposób II

Z warunku $ AB\ne CD $ wynika, że proste $ AD $, $ BC $ nie są równoległe. Zatem proste $ KL $, $ MN $, będące odpowiednio symetralnymi boków $ AD $, $ BC $, przecinają się w punkcie $ O $ - środku okręgu opisanego na czworokącie $ ABCD $.

Z równości $ DK=CM=a $ oraz $ OD=OC $ wnioskujemy, że punkt $ O $ albo leży poza odcinkami $ KL $ i $ MN $, albo też znajduje się na każdym z tych odcinków. Rozpatrzymy pierwszy z tych przypadków; drugi jest analogiczny.

Niech $ E $ będzie środkiem odcinka $ AD $ (rys. 10).
Czworokąt $ AKDL $ jest rombem, więc $ E $ jest także środkiem odcinka $ KL $.
Stosując dwukrotnie twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
OK\cdot OL & = (OE+EK)(OE-EK)=OE^2-EK^2=OE^2-(DK^2-DE^2)=  \\<br />
& =OE^2+DE^2-DK^2=OD^2-DK^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Analogicznie uzyskujemy zależność

\[<br />
OM\cdot ON=OC^2-CM^2.<br />
\]

Na mocy założeń danych w treści zadania mamy $ DK=CM=a $. Ponieważ także $ OD=OC $, więc dochodzimy do wniosku, że

\[<br />
(4) \qquad OK\cdot OL=OD^2-DK^2=OC^2-CM^2=OM\cdot ON.<br />
\]

Punkt $ O $ jest punktem przecięcia prostych zawierających odcinki $ KL $
i $ MN $ oraz leży poza każdym z tych odcinków. To wraz
z równością (4) dowodzi, że punkty $ K $, $ L $, $ M $, $ N $
leżą na jednym okręgu.